Obecná teorie a dělení fraktálů

Algoritmy Matematické Obecná teorie a dělení fraktálů

Dělení fraktálů

Na základě generování fraktálů rozeznáváme některé jejich typy:

L-Systémy
Iterační funkční systémy (IFS)
Polynomické fraktály(TEA)
Náhodné fraktály

 

L-Systémy

L-systémy byly poprvé použity botanikem Aristidem Lindenmayerem (1968) pro simulaci vývoje mnohobuněčných organismů. Pro L-systémy se někdy používá označení fraktální křivky. Pravidela sloužící ke generování fraktálu nechť jsou nazvána parametry. Množina všech parametrů nechť se nazývají abecedou příslušného L-systému. Jednotlivé parametry jsou označeny jedinečným symbolem. Počáteční symbol nebo množinu symbolů, který je základem pro generování fraktálních křivek se nazývá axiom (iniciátor). Ten představuje většinou velice jednoduchý nefraktální obrazec, např. trojúhelník, čtverec, přímka, krychle… A nyní přikročíme ke konstrukci. Pravidlo které jí popisuje (transformační pravidlo) se nazývá L-pravidlo či generátor. Toto pravidlo iterativně aplikujeme na všechny symboly, které jsou součástí iniciátoru. Každé stadium konstrukce fraktálu spočívá v přeměně každé předcházející linie v příslušnou kopii generátoru. Pro stádium konstrukce fraktálu před danou transformací se používá název předchůdce (predecesser) a pro stádium po dané transformaci se používá název nástupce (successor) (viz následující obrázek.

 

Postupem popsaným výše vzniká např. Kochova křivka. Samozřejmě že existuje více druhů L-systémů. Obecná klasifikace L-systémů nebyla dosud zavedena. Pokusy o ní stále vycházejí z konkrétních oborů, kde jsou L-sys. používány. Za nejpřesnější a nejobecnější metodu jejich třídění můžeme považovat rozdělení podle způsobu jejich generování (tedy klasifikace metod k tomu použitých). Nejhlavnější jsou parametrické L-systémy, kontextově senzitivní L-systémy (endogení L-systémy) a environmentálně senzitivní L-systémy. L-systému jsou využívány v biologii, geologii a podobných přírodních vědách. Jejich plné využití zatím brání nedostatek údajů přesně popisujících morfologii přírodních objektů. To se projevuje zejména tehdy, když výzkum vedeme "do hloubky" a nestačí nám jen prosté zobrazení.

IFS

Existuje několik metod konstruování. První je stochastická cesta. Máme libovolný počáteční bod a na něj použijeme sadu transformačních pravidel. Jednotlivým pravidlům ovšem přiřadíme určitou pravděpodobnost, tzn. že příslušné pravidlo se vybírá náhodnou (stochastickou) cestou. Obecně si vyjádříme jednotlivá transformační pravidla jako funkce w1, w2,w3,…wn. Každé přiřadíme pravděpodobnost p1,p2…pn. Jejich součet dává 1(100%). Transformace mají afinní povahu tzn. že se skládají z násobné a přičítací matice.

x,y - souřadnice

Nový bod se stává opět počátkem pro další transformaci. Výsledky získáme po několika tisících iterací. Tuto chaotickou hru, jak se popsaný postup někdy nazývá, si ukážeme na příkladu Sierpinského trojúhelníka. Při jeho vytváření nám stačí zavést tři jednoduchá pravidla s třetinovou pravděpodobností.

Zde vidíme vývoj několika prvních iterací a po 10000 iteracích.

Další způsob je na představení mnohem jednodušší. Jedná se o prostě iterační metodu. Spočívá v tom, že máme nějaký základní obrazec (trojúhelník, čtverec…) a na něj aplikujeme nějaké geometrické pravidlo. Jako příklad vezměme opět Sierpinského trojúhelník. Nejprve tedy máme obecný, nejlépe ale rovno -straný, -ramenný nebo pravoúhlý trojúhelník. Nyní označíme středy jeho stran a spojíme je úsečkou (narýsujeme střední příčky). Počáteční trojúhelník je rozdělen na 4 části a my prostřední vyjmeme. Získáme tři trojúhelníky (kopie toho původního) a na ně aplikujeme stejné pravidlo. Po dostatečném počtu iterací (nekonečném) dostaneme fraktální útvar. Metoda je triviální a je názornější, protože už od počátku vidíme obrysy cíle. IFS fraktálů je samozřejmě mnoho, nejenom Sierpinského trojúhelník (Hausdorffova dimenze DH= log(3)/log(2)­=1,585), jako další příklady lze uvést např. Sierpinského kobereček(DH = log(8)/log(3) = 1,8928), Cantorovo diskontinuum(DH = log(2)/log(3) = 0,6309), Hilbertova křivka(DH = 2 docela dost na křivku, co), kapradí a spousta dalších. Fraktálů typu IFS lze vytvořit velmi mnoho.

Polynomické fraktály

Na rozdíl od předešlých dvou typů je nelze většinou použít pro zkoumání přírodních objektů. Často ale vytvářejí fascinující obrazce, a proto jsou nejznámější. vytvářejí se mapováním oblastí přitažlivosti pro různá řešení nelineárního systému. V soustavě souřadnic(často komplexních) testujeme různé hodnoty, které dosazujeme do původní rovnice. Na její výsledek aplikujeme iterativně stejné pravidlo. Pravou stranu dosadíme do levé a tak stále pokračujeme. Z toho vyplívá, že výsledku bychom se dobrali až v nekonečném čase. V praxi se tedy stanoví limitní hranice pro počet iterací. Pokud je atraktor jasně směřuje do své oblasti přitažlivosti (to je ovšem u každého systému podle jeho autonomních pravidel), "výpočet" ukončíme a bod pro větší efektivitu obarvíme příslušnou barvou podle počtu iterací. Pokud dosáhneme limitní hodnoty, pak bod obarvíme implicitní barvou. Generování těchto fraktálů tedy není zcela exaktní, závisí na počtu iterací. Ovšem čím větší kvalitu požadujeme, tím větší nároky klademe na hardware počítače. Jejich výpočet je tedy časově velmi náročný proces, který podle současných znalostí nejde urychlit. Bez výpočtu nelze zjistit pro žádný bod v rovině (či 3D, 4D,…nD prostoru) zda patří, či ne do dané oblasti přitažlivosti. Mezi polynomické fraktály řadíme např. Mandelbrotovu množinu, Juliovy množiny a variace na ně. Rovnice, které je popisují, bývají až překvapivě jednoduché a tento typ fraktálů bude v tomto textu hojně diskutován.

Náhodné fraktály

Mezi náhodné fraktály rozhodně nepatří všechny ostatní. Je to ale velmi rozsáhlá a neuspořádaná skupina. Používá se hlavně pro zobrazování a modelování přírodních objektů a dějů. Některé vznikají velice jednoduše, např. náhodným přesouváním bodu, který zanechává za sebou stopu (Brownův pohyb). Jiné vykreslí hlávku zelí (salát je soběpříbuzný). Používají se tedy zejména pro popis přírodních objektů, neboť do výpočtu dávají prvek náhody. Náhodnýmy fraktály se na tomto webu budeme zabývat jen velice okrajově.

 

Obecná teorie

"Rozumné" eukleidovské tvary mají tu vlastnost, že se změnou měřítka nemění např. obvod. Takový čtverec si klidně zvětšujte až do aleluja, ale obvod, obsah a rozměry jednotlivých stran zůstanou nezměněny. Také těžko uvnitř čtverce uvidíte další, menší čtverce, či útvary jemu podobné. Čtverec je tedy tzv. geometricky hladký útvar. U fraktálů se setkáváme s naprostým opakem. Vezměme např. problém měření délky ostrova, kterým se zabýval Richardson. Nejprve ji změříme na mapě světa, třeba "odkrokujeme" kružítkem. Získáme nějakou hodnotu x. Pak vezmeme mapu s větším měřítkem a získáme hodnotu x+y. Poté pro změnu obejdeme ostrov pěšky. Tak zachytíme ještě menší detaily, které na mapách z pochopitelných důvodu zaneseny nejsou. Aby toho nebylo málo, zmenšíme se do velikosti mravence, a poctivě si to odpochodujeme(tedy žádné přeskakování balvanů). Kdybychom se takto zmenšovali do nekonečna, vyšla by nám délka ostrova nekonečná! Podobný problém nenalézáme samozřejmě jen u délky pobřeží, např. Portugalsko uvádí délku hranic se Španělskem 1214 km, kdežto Španělsko má s Portugalskem hranici jen 987 km. Kterýkoli ostrov je tedy nekonečně členitý útvar. Richardson empiricky odvodil následující vztah: 


 K = N*eD 

K – délka pobřeží
N – počet úseček nutných k aproximaci 
e – délka úsečky
D – konstanta, kterou neuměl Richardson odvodit, to dokázal až B. Mandelbrot

Další typické znaky fraktálů jsou lépe patrné na jiných modelech. Vezměme takový strom. Zdálky může vypadat jako trojúhelník, při přibližování (změně měřítka) se bude vyjasňovat jeho struktura (větve) při dalším přiblížení zjistíme, že jednotlivé větvičky "vytvářejí" obraz celého stromu. Tato vlastnost se nazývá so
běpodobnost, ale s ní se setkáváme především u matematických modelů, v přírodě se objevuje hlavně soběpříbuznost.

 

Soběpodobnost

Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopíí původního motivu. Jak již bylo řečeno, jinde než u matematických struktur se s ní nesetkáme. Ty se naštěstí dají velice dobře znázornit, takže váš počítač může vykreslit i velice efektní soběpodobné útvary

 

Soběpříbuznost

Kterákoliv část fraktálu je podobná původnímu vzoru. V přírodě se jedná např. o větve či kořeny stromu, mraky, pouští duny atd. atd…

Z problému zkoumání délky ostrova vyplívá jeden závažný důsledek. Pokud totiž nabývá křivka nekonečné délky, měla by v rovině "zabírat o něco více místa", než hladký útvar. To "více místa" se nazývá Hausdorffova dimenze a u fraktálů je vždy větší než topologická dimenze. Přímka má topologickou dimenzi 1, čtverec 2, krychle 3, nadkrychle 4 atd. jestliže obvod fraktálu K = N*epak měřítko s=1/N. Dosazením K=1 se Hausdorffova dimenze DH= log(N) / log(1/s). V praxi nám většinou nestačí takto jednoduše dosadit, používá se několik metod, např. obvodová metoda nebo mřížková metoda.


 

  Aktivity (1)

Článek pro vás napsal Tomáš Sixta
Avatar
Jméno jeho jest Tomáš Sixta. Narodil se v roce 1987 krátce po výbuchu Černobylu v Kolíně u Veltrub. Vystudoval Základní školu ve Veltrubech a nyní studuje na gymnáziu Kolín.

Jak se ti líbí článek?
Celkem (1 hlasů) :
4444 4


 


Miniatura
Předchozí článek
Úvod do fraktálů a chaosu
Miniatura
Všechny články v sekci
Matematické algoritmy
Miniatura
Následující článek
Mandelbrotova a Juliova množina

 

 

Komentáře

Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zatím nikdo nevložil komentář - buď první!