Pojednání o chaosu

Algoritmy Matematické Pojednání o chaosu

Pod pojmem chaos si většina lidí představí něco naprosto neuspořádaného a neorganizovaného či amorfního. Ovšem není chaos jako chaos. Tento text pojednává o deterministickém chaosu. Stejně, jako v minulém oddílu vyjdu z definice z první kapitoly - stav, kdy jednoduchý systém má složité, ale deterministické chování. Co k tomu potřebujeme? Stačí pouhé tři nelineární diferenciální rovnice. O tom se přesvědčil už Lorenz, když jeho model počasí právě o třech rovnicích byl tak nepředvídatelný, že jeho kolegové uzavírali sázky, co udělá příště. Když je to tak jednoduché, tak proč se na to nepřišlo už dříve? Ono se na to přišlo (Lorenzův objev byl vlastně náhodný), ale vědci zabývající se chaosem museli překonat mnoho obtíží - jejich závěry si odporovaly s tehdejším fyzikálním vnímáním světa, naznačovaly omezení snahy člověka ovládnout přírodu, a také de facto ustanovily mez pro počítače. Dál tu byl ještě jeden problém - pro matematiky byly jejich teorie moc fyzikální a pro fyziky naopak moc abstraktní. Přesto se tyto potíže podařilo překonat. Zpočátku vědci o sobě nevěděli, ale přesto se jejich znalosti rozšiřovaly závratným tempem.

Stephen Smale z kalifornské univerzity v Berkley se zabýval fázovým prostorem. Přesněji řečeno zabýval se topologickými transformacemi útvarů, ale soustředil se na celý prostor. Pokoušel se jej různě ohýbat a z toho vznikla Smaleova podkova: prostor je v jednom místě protažen a ve druhém stlačen. Poté se prostor složí. Vznikne útvar podobný podkově. V transformacích pokračujeme, a to tak, že "uřežeme" nohy podkovy a představíme si je jako nový fázový prostor. Přestože je Smaleova podkova příliš matematický objekt a fyzice reálného světa má daleko, přispěl k lepšímu pochopení pohybu. Smale doufal, že takto lze vysvětlit všechny dynamické systémy, tedy jen pomocí smršťování, ohýbání a natahování. Ukázalo se ale, že přehýbání je nezbytné a nese sebou drastické změny dynamického chování. Podobný způsob práce s fázovým prostorem si zvolil Hénon. Tento astronom se zabýval modelováním oběžné dráhy hvězd. Místo toho, aby opisovaly úhledné elipsy, získávají jejich oběžné dráhy trojdimenzionální charakter. Těžko zakreslit na dvojrozměrný papír trojrozměrnou dráhu, a tak Hénon použil podobnou metodu jako Poincarého vytváření map. Představil si plochou rovinu na jednom konci galaxie tak, aby jí každá oběžná dráhy protínala a pak zaznamenal bod, kde k protnutí došlo. Zprvu se body objevovaly jakoby náhodně, ale po vynesení desítek bodů se začínala objevovat vejčitá křivka. Tyto dráhy se sice neuzavírají, ale zdaleka nejsou chaotické a dají se velice dobře předvídat. Kdyby skončili u tohoto, tak by tato pasáž neměla co dělat na tomto místě. Ale… Se svým diplomantem Carlem Heilesem přišli na něco neočekávaného. Když postupně zvyšovali hladinu energie, nejprve se dráhy rozvětvovala do složitějších smyček. Při dalším zvětšováním energetické hladiny některé body sice tvořily pravidelnou křivku (či se dala odhadnout), jiné se ukázaly jako projevy naprostého chaosu. Byl to unikátní pohled na přechodné stadium mezi řádem a chaosem. Po patnáctileté přestávce se Hénon k problému opět vrátil. Soustředil se jen na geometrickou podstatu věci, a proto vyměnil diferenciální rovnice ze diferenční, nezávislé na čase. Na papír si nakreslil ovál a postupně jej natahoval a překládal. Zde máme Smaleův princip podkovy. Pro transformace si vybral dvě jednoduché rovnice - X=y+1-1,4x2; Y=0,3x. Takto jednoduchý výpočet lze provádět i na kalkulačce, ale počítač je přece jenom rychlejší. Hénon vynesl na grafický displej 5 miliónů bodů a co neviděl: nejprve body naskakovaly jakoby náhodně, ale pak se zdálo, že část křivky má tloušťku. To byl také jen přechodný jev, zde se křivka rozdělila na dvě, čtyři části atd. Tento útvar je znám jako Hénonův atraktor. Vyznačuje se nekonečnouregresí, čili jej stále můžeme zvětšovat aniž by se změnila jeho struktura. Jinými slovy, je to fraktál.

Další příklad bude také z astronomie, třebaže s transformacemi fázového prostoru nemá nic společného. Týká se chlouby Jupitera, jeho velké rudé skvrny. Odedávna lidé vymýšleli teorie, co by to mohlo být. Objevovaly se takové teze jako že je to nový, právě se oddělující měsíc, velké těleso(pevné!), plovoucí v Jupiterově atmosféře atd… Díky sondě Voyager víme, že je to obrovský uragán. Místo toho, aby jehomise zodpověděla všechny otázky, přinesla spoustu nových. Jak se může udržet pohromadě, když okolo vznikají a zanikají menší víry. Marcus, jeden z pracovníků NASA, dlouho studoval snímky skvrny. Nakonec dospěl k závěru, že skvrna má autonomní organizaci a že je řízena pomocí stejné nelinearity jako ostatní víry. Je to stabilní chaos. Skvrna připomíná další záhadu. Tou je turbulence.

 

Turbulence

 

Turbulence je něco jako svatý grál fyziky. Zabývali se jí snad všichni slavní fyzikové a o její nepochopitelnosti svědčí výrok Wernera Heisenberga na smrtelné posteli :"Na Boha budu mít dvě otázky: proč relativita a proč turbulence. Opravdu si myslím že by na první otázku mohl mít odpověď." Fyzika měla do sedmdesátých let teorii turbulence. Jejím autorem byl ruský fyzik Lev D. Landau. Podle této teorie si můžeme turbulenci představit jako mnoho navzájem nesouhlasných rytmů. Nejprve se má objevit jeden, ale se zvyšující se rychlostí by měly přibývat další. Nikdo ji nedokázal experimentálně potvrdit a také se podle ní nedalo nic spočítat. Přesto s ní fyzikové mlčky souhlasili. V roce 1973 se ji pokusili potvrdit badatelé Swiney a Gollub. Přesto že pracovali v malé laboratoři s ještě menším objemem peněz, vytvořili zařízení velikosti plechovky na tenisové míčky. Mělo tvar válce, uvnitř kterého se otáčel další válec. Jak postupně zvyšovali rotační energii, objevila se první frekvence. S dalším zvyšováním energie by se měly objevovat další a další rytmy a měly by vytvořit onu složitou turbulenci. Až do té doby byla Landauova teorie platná. Jak dále zvyšovali rychlost, nedokázali rozlišit další frekvence - místo postupně se objevujících frekvencí nastal chaos. Landauova teorie je tedy chybná. Swiney a Gollub ovšem nedokázali vytvořit správnou teorii turbulence. Odlišný experiment provedl například Libchaber. Ten experimentoval s kapalným heliem - uzavřel ho v jedné nádobě a tu zezdola mírně zahříval. Jakmile rozdíl teplot dosáhl určité hodnoty, kapalina začala proudit. Když dvě pisátka ovládaná teplotními sondami zakreslovala graf, ukázalo se, že čirou náhodou šlo o stejné proudění, jaké svými rovnicemi vyjádřil Lorenz. Libchaber zjistil ještě složitější strukturu než si dokázal představit. Zjistil v grafu mnoho bifurkací. Nešlo vůbec předpovídat, co se stane příště. Copak je všechno tak neuspořádané? Ano, ale… Když Feigenbaum studoval bifurkace, vybral si zdánlivě jednoduchou rovnici: x=r.(x-x2). Tato rovnice je známa jako populační funkce. Když vytkneme x, dostaneme x=rx(1-x). Parametr r představuje rychlost růstu a x je počet jedinců vyjádřený jako podíl současného stavu a maximálního stavu. Například pro r=2.4 a počáteční x=0.5 dostaneme 0,6; 0,576; 0,586; 0,582; 0,583; 0,583… Sytém se dostal do rovnováhy. Když ale parametr inkrementuje, najednou se stane, že systém začne oscilovat. třeba když r změníme na 3,5 a počáteční x ponecháme, tak dostaneme 0,875; 0,383; 0,827; 0,501; 0,875; 0,383; 0,827; 0,501… Systém nám začíná oscilovat. Tomu se říká bifurkace. Když parametr dále zvyšujeme, dostaneme ne 4, ale 8, pak 16… bifurkací. pro dostatečně velký parametr je graf chaotický - přestože se by se perioda měla stále zdvojovat, můžeme v grafu pozorovat i periodu tři.. To už před Fiegenbaumem zjistil May. Fiegenbaum se snažil na svém kalkulátoru zjistit, kdy přesně nastává rozštěpení. Tempo výpočtu bylo pomalé, a tak si krátil čas hádáním příštího výsledku. V jedné chvíli pochopil, že hádat nemusí. Systém skrýval neočekávanou pravidelnost - zdvojení přicházela stále rychleji, ale konstantním zrychlením, vyjádřeným číslem 4,669. To už by sám o sobě mohl být objev, ale Feigenbaum zkoumal ještě rovnici xt+1=r.sin(xt). Zdvojení nastávala přesně tím samým zrychlením - složitější a odlišná funkce vykazoval stejnou pravidelnost jako její jednodušší sestra! To nedokázala vysvětlit žádná známá matematická či fyzikální teorie. Do příštího dne získal číslo s lepší přesností - jeho hodnota je přibližně 4,669201090. Tento objev vešel do dějin pod názvem univerzalita.

Pokud si chcete vyrobit vlastní chaotický systém, tak vězte, že systém s jedním kyvadlem a třemi magnety na podložce je velmi citlivý na počáteční podmínky. Z určitých oblastí sice končí vždy u jednoho magnetu, ale jsou také oblasti, kde se to nadá dopředu přesně říci.

 

Myslím, že tyto řádky musí všechny p­ochybovače přesvědčit o tom, že teorie chaosu je úžasná věc. Přestože u jednotlivých odstavců chybí pointa, nastínily něco o skrytých vlastnostech přírody. Teď ale z jiného soudku. Jaký je vlastně vztah pojmů fraktál - chaos? Takže - fraktál je obrázek vzniklý díky nějaké rovnici či jejich soustavě (nebo i náhodně). Chaos je označení pro cho­vání systému. Dále všechny podivné atraktory jsou fraktály, ale ne všechny fraktály jsou atraktory.

Pojednání o atraktorech

 

Co to je vlastně atraktor? Podle definice z první kapitoly je to konečný stav systému. To není moc zajímavá věta a je těžké si podle ní něco představit. Atraktor můžeme naštěstí lehce zobrazit na grafu, tedy pokud nemá systém více jak tři rozměry. Zde bych rád zavedl pojem fázový prostor. Pro pohyb hmotného bodu si vystačíme s třemi souřadnicemi a jestliže přidáme i všechny 3 složky vektoru jeho rychlosti dostaneme 6 souřadnic - fázový prostor. Problém nastane tehdy, když chceme chování (např. pohyb) systému, který se nedá definovat pomocí jednoho hmotného bodu - pohyb pružných, kapalných těles nelze jednoduše zanášet do grafu, ale matematicky se chování těchto systémů dá v principu zvládnout.
V první kapitole v odstavci pojmy je také uvedeno velmi hrubé dělení atraktorů. Začněme bodem. Například fyzikální kyvadlo (podléhající tření) se postupně zastavuje a když se zcela zastaví, dosáhne svého atraktoru. Zde se situace zjednodušuje tím, že kyvadlo je de facto hmotný bod. Jak můžeme zobrazit jeho chování? Například máme dvojrozměrný graf, osa x představuje čas, a na osu y nanášíme aktuální výchylku. Zpočátku dostaneme graf podobný funkci cos, ale s postupujícím časem se křivka vyhlazuje, až se z ní stane přímka - kyvadlo se zastavilo. Můžeme ještě přidat třetí prostor - aktuální rychlost kyvadla - a jsem u fázového prostoru. Nebo to můžeme udělat jinak - ignorujeme čas a na graf vykreslujeme jen aktuální výchylku a aktuální rychlost. Pro nebržděné kyvadlo se nám vykreslí kružnice a pro bržděné spirála - atraktorem je bod uprostřed. Nemusíme dokonce ani kreslit graf - stačí kyvadlo v podobě děravé nádoby s pískem. Ten se stále vysypává a kde je hromádka největší, tam je atraktor (za předpokladu, že se kyvadlo zastaví dříve, než dojde písek). Výhoda tohoto způsobu je v tom, že se kyvadlo může kývat ve dvou rozměrech - tedy nejen tam a zpátky, ale zase nevidíme názorně aktuální rychlost kyvadla. Kyvadlo lze popsat poměrně jednoduchými deterministickými vzorci a tak nás ani nepřekvapí jednoduchost atraktoru. Některé systémy se nespokojí z bodem, ale s cyklicky se opakující křivkou. Třeba matematické kyvadlo. Jeho atraktorem je v grafu naznačeném výše funkce cos. Lepším příkladem jsou planety. Podmínka cyklu je ovšem splněna jen tehdy, když nehmotný bod obíhá kolem hmotného bodu - planety mají zanedbatelnou hmotnost. Jejich atraktor je obyčejná elipsa. Ve skutečnosti to není úplně přesné (planety si Slunce trošičku přitahují a tím porušují uzavřenou elipsu), ale pokud nevysíláme meziplanetární sondu, tak to stačí (také jsme zanedbali zakřivení prostoru…). Podobný atraktor má i mlýnské kolo. Právě na něm si vyznačíme bod a pokud stále přitéká voda, jeho atraktorem je kruh. Vraťme se ale zpátky do vesmíru. Jak je dobře známo, většina hvězd jsou vlastně dvojhvězdy. Předpovídat polohu planety ve Sluneční soustavě je triviální, ale co u dvojhvězdy? To je pořádný oříšek. Představte si ale jinou situaci. Tři srovnatelně hmotná tělesa. To je také pořádný oříšek. Tento je ovšem nerozlousknutelný, neboť koncem předminulého století H. Poincaré dokázal, že analytické řešení neexistuje! Není tedy možné žádným alespoň trochu přesným způsobem předpovědět chování tří blízkých hvězd! Pro podobný úkaz ale nemusíme létat do vzdáleného vesmíru. V pásu asteroidů mezi Marsem a Jupiterem obíhá skupina tří velkých asteroidů, které se jmenují Trojané. Zde je situace ještě komplikovaná přítomností menších těles a prachu. Jaký je tedy atraktor této soustavy? Žádný? Ne, ale je opravdu podivný. To chápejte jako pojem, ne jako přirovnání. Jednotlivé body se na grafu mohou objevovat zdánlivě náhodně a vytvoří nekonečnou křivku(nikde se neprotíná) - podivný atraktor. To že neexistuje analytické řešení by mohlo svádět k domněnce, že tuto soustavu nelze vyjádřit rovnicemi. To sice lze, ale míra vzájemného ovlivňování je velmi vysoká(což je vyjádřeno značnou nelinearitou soustavy). Proto je systém extrémně nestabilní i při malé změně počátečních podmínek. Nyní se vraťme k vodnímu kolu. Mírně si jej ale upravíme.
Vodní kolo nebude mít lopatky, ale na jeho obvodu bude připevněno několik děravých nádob - voda do nich ze shora přiteče, ale bude stále odtékat. Tímto problémem se v padesátých letech minulého století zabýval Edvard Lorenz. Chování tohoto systému vyjádřil několika málo lineárními rovnicemi, tedy které se nijak výrazně neovlivňovaly. Lorenz očekával, že se kolo bude točit buď stále jedním směrem, nebo cyklicky směry měnit a nebo že voda bude rychle odtékat a kolo se zastaví docela. A ejhle, on neudělal ani jedno ani druhé. Přestože je tento systém vyjádřen jednoduchými lineárními rovnicemi, vykazuje extrémně nestabilní chování, které se mimochodem nedá předpovídat. Lorenz na svém počítači zobrazil graf pohybu kola a dostal opravdu podivnou 3D mapu:
Tento podivný atraktor se stal symbolem všech podivných atraktorů a teorie chaosu a najdete jej snad v každé chaotické knize.

 

Co to je vlastně atraktor? Podle definice z první kapitoly je to konečný stav systému. To není moc zajímavá věta a je těžké si podle ní něco představit. Atraktor můžeme naštěstí lehce zobrazit na grafu, tedy pokud nemá systém více jak tři rozměry. Zde bych rád zavedl pojem fázový prostor. Pro pohyb hmotného bodu si vystačíme s třemi souřadnicemi a jestliže přidáme i všechny 3 složky vektoru jeho rychlosti dostaneme 6 souřadnic - fázový prostor. Problém nastane tehdy, když chceme chování (např. pohyb) systému, který se nedá definovat pomocí jednoho hmotného bodu - pohyb pružných, kapalných těles nelze jednoduše zanášet do grafu, ale matematicky se chování těchto systémů dá v principu zvládnout.

V první kapitole v odstavci pojmy je také uvedeno velmi hrubé dělení atraktorů. Začněme bodem. Například fyzikální kyvadlo (podléhající tření) se postupně zastavuje a když se zcela zastaví, dosáhne svého atraktoru. Zde se situace zjednodušuje tím, že kyvadlo je de facto hmotný bod. Jak můžeme zobrazit jeho chování? Například máme dvojrozměrný graf, osa x představuje čas, a na osu y nanášíme aktuální výchylku. Zpočátku dostaneme graf podobný funkci cos, ale s postupujícím časem se křivka vyhlazuje, až se z ní stane přímka - kyvadlo se zastavilo. Můžeme ještě přidat třetí prostor - aktuální rychlost kyvadla - a jsem u fázového prostoru. Nebo to můžeme udělat jinak - ignorujeme čas a na graf vykreslujeme jen aktuální výchylku a aktuální rychlost. Pro nebržděné kyvadlo se nám vykreslí kružnice a pro bržděné spirála - atraktorem je bod uprostřed. Nemusíme dokonce ani kreslit graf - stačí kyvadlo v podobě děravé nádoby s pískem. Ten se stále vysypává a kde je hromádka největší, tam je atraktor (za předpokladu, že se kyvadlo zastaví dříve, než dojde písek). Výhoda tohoto způsobu je v tom, že se kyvadlo může kývat ve dvou rozměrech - tedy nejen tam a zpátky, ale zase nevidíme názorně aktuální rychlost kyvadla. Kyvadlo lze popsat poměrně jednoduchými deterministickými vzorci a tak nás ani nepřekvapí jednoduchost atraktoru. Některé systémy se nespokojí z bodem, ale s cyklicky se opakující křivkou. Třeba matematické kyvadlo. Jeho atraktorem je v grafu naznačeném výše funkce cos. Lepším příkladem jsou planety. Podmínka cyklu je ovšem splněna jen tehdy, když nehmotný bod obíhá kolem hmotného bodu - planety mají zanedbatelnou hmotnost. Jejich atraktor je obyčejná elipsa. Ve skutečnosti to není úplně přesné (planety si Slunce trošičku přitahují a tím porušují uzavřenou elipsu), ale pokud nevysíláme meziplanetární sondu, tak to stačí (také jsme zanedbali zakřivení prostoru…). Podobný atraktor má i mlýnské kolo. Právě na něm si vyznačíme bod a pokud stále přitéká voda, jeho atraktorem je kruh. Vraťme se ale zpátky do vesmíru. Jak je dobře známo, většina hvězd jsou vlastně dvojhvězdy. Předpovídat polohu planety ve Sluneční soustavě je triviální, ale co u dvojhvězdy? To je pořádný oříšek. Představte si ale jinou situaci. Tři srovnatelně hmotná tělesa. To je také pořádný oříšek. Tento je ovšem nerozlousknutelný, neboť koncem předminulého století H. Poincaré dokázal, že analytické řešení neexistuje! Není tedy možné žádným alespoň trochu přesným způsobem předpovědět chování tří blízkých hvězd! Pro podobný úkaz ale nemusíme létat do vzdáleného vesmíru. V pásu asteroidů mezi Marsem a Jupiterem obíhá skupina tří velkých asteroidů, které se jmenují Trojané. Zde je situace ještě komplikovaná přítomností menších těles a prachu. Jaký je tedy atraktor této soustavy? Žádný? Ne, ale je opravdu podivný. To chápejte jako pojem, ne jako přirovnání. Jednotlivé body se na grafu mohou objevovat zdánlivě náhodně a vytvoří nekonečnou křivku(nikde se neprotíná) - podivný atraktor. To že neexistuje analytické řešení by mohlo svádět k domněnce, že tuto soustavu nelze vyjádřit rovnicemi. To sice lze, ale míra vzájemného ovlivňování je velmi vysoká(což je vyjádřeno značnou nelinearitou soustavy). Proto je systém extrémně nestabilní i při malé změně počátečních podmínek. Nyní se vraťme k vodnímu kolu. Mírně si jej ale upravíme.

Vodní kolo nebude mít lopatky, ale na jeho obvodu bude připevněno několik děravých nádob - voda do nich ze shora přiteče, ale bude stále odtékat. Tímto problémem se v padesátých letech minulého století zabýval Edvard Lorenz. Chování tohoto systému vyjádřil několika málo lineárními rovnicemi, tedy které se nijak výrazně neovlivňovaly. Lorenz očekával, že se kolo bude točit buď stále jedním směrem, nebo cyklicky směry měnit a nebo že voda bude rychle odtékat a kolo se zastaví docela. A ejhle, on neudělal ani jedno ani druhé. Přestože je tento systém vyjádřen jednoduchými lineárními rovnicemi, vykazuje extrémně nestabilní chování, které se mimochodem nedá předpovídat. Lorenz na svém počítači zobrazil graf pohybu kola a dostal opravdu podivnou 3D mapu:



Tento podivný atraktor se stal symbolem všech podivných atraktorů a teorie chaosu a najdete jej snad v každé chaotické knize.


 

  Aktivity (1)

Článek pro vás napsal Tomáš Sixta
Avatar
Jméno jeho jest Tomáš Sixta. Narodil se v roce 1987 krátce po výbuchu Černobylu v Kolíně u Veltrub. Vystudoval Základní školu ve Veltrubech a nyní studuje na gymnáziu Kolín.

Jak se ti líbí článek?
Celkem (1 hlasů) :
55555


 


Miniatura
Předchozí článek
IFS fraktály
Miniatura
Všechny články v sekci
Matematické algoritmy
Miniatura
Následující článek
Pojmy

 

 

Komentáře

Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zatím nikdo nevložil komentář - buď první!