Diskuze: Je 0,9999... rovno 1

Volná diskuze Je 0,9999... rovno 1

Avatar
andrej200
Člen
Avatar
andrej200:

Ahoj,
chtěl bych se zeptat, jestli je pravda, že 0,9 pod periodou je rovno 1.
V tomto videu (https://www.youtube.com/watch?…) jsou na to i matematické důkazy, ale stejně my to přijde divné. A například 1/3 (podle mě..) není zcela rovná 0,3 pod periodou.
Jak to teda je? Hodně lidí říká, že je to pravda a hodně zase, že ne.

Andrej

Odpovědět  +1 15.12.2014 16:08
Boj sa tých, ktorí sú ticho. Oni sú totiž tí jediní, ktorí skutočne myslia.
Avatar
Monarezio
Redaktor
Avatar
Monarezio:

http://www.videacesky.cz/…ovy-paradoxy v tomto videu to pěkně vysvětlují :)

Nahoru Odpovědět 15.12.2014 16:19
First, solve the problem. Then, write the code.
Avatar
David Čápka
Tým ITnetwork
Avatar
Odpovídá na andrej200
David Čápka:

Určitě uznáš, že tohle musí vždy platit: (a/b)*b = a. Když něco vydělím a pak to vynásobím tím samým číslem, získám původní číslo.

Potom tedy platí, že (1/3)*3 = 1. A potom musí platit i že 0.333 periodických * 3 = 1. A protože 0.333*3 = 0.9999, potom je 0.999 = 1.

Editováno 15.12.2014 20:37
Nahoru Odpovědět  +18 15.12.2014 20:37
Miluji svou práci a zdejší komunitu, baví mě se rozvíjet, děkuji každému členovi za to, že zde působí.
Avatar
coells
Redaktor
Avatar
Odpovídá na andrej200
coells:

Vůbec se ti nedivím, že tomu nerozumíš. Je to dáno tím, že s čísly se většinou zachází pouze intuitivně bez pevně definovaného základu. Jenže jakmile se někde objeví nekonečno, přestává intuice fungovat a většina závěrů bývá mylná nebo se jeví paradoxně.

Třeba David Čápka se to snaží dokázat tak, že 1/3*3 = 1. To je poměrně intuitivní závěr, ale, bohužel, vůbec nic nedokazuje. Dělení totiž není až tak intuitivní, jak se zdá. Za prvé, určitě není pravda, že by vždy platilo a/b*b = a (můžete se zamyslet, proč ne). A za druhé, problém tohoto "důkazu" spočívá v několika částech:

  1. je opravdu 1/3 rovno 0.333...?
  2. můžu jen tak vynásobit periodické číslo?
  3. dělení zavádíme jako inverzní operaci k násobení

Pokud pominu důvody (a) a (b), kvůli kterým má takový důkaz stejné problémy jako původní rovnost, pak další problém nastává v zavedení operace dělení. Platí totiž, že pro každé a reálné, různé od 0, existuje právě jedno x takové, že a * x = 1. Říkáme, že x je inverzní prvek a značíme ho x=a−1. Operaci dělení pak zavedeme jako a / b = a * b−1. Pokud nejsme v reálných číslech, nemusí inverzní prvek vždy existovat a pak také nejde dělit. David se tedy snaží ukázat, že a * b−1 * b = a, jenže to je krok zpět k definici. Ne, že by to podobným způsobem ukázat nešlo, ale musí se jít z druhé strany a pomoci si spočetností přirozených čísel, což je hluboce za rámec analýzy prvního semestru.

Takže zpět k tvé otázce, proč je 0.999... = 1?

Abych ti to ukázal, musím použít posloupnosti a řady. Posloupnost pro nás bude nekonečný seznam čísel, ale takový, že každý prvek můžeme označit právě jedním přirozeným číslem. Vezmu si jednu takovou posloupnost p:

p(1) = 1/2
p(2) = 1/4
p(3) = 1/8
p(n) = 1/(2^n)

U téhle posloupnosti jsou důležité dvě věci. Každý další člen je menší, než ten předchozí (vlastně je poloviční). A každý člen je současně větší než nula. Pokud budeme zkoumat prvky posloupnosti p(n) pro větší a větší n, budeme se stále přibližovat k nule, ale nikdy ji nedosáhneme. Takovému jevu říkáme, že se posloupnost p limitně blíží k nule a píšeme lim p(n) = 0 pro n jdoucí do nekonečna.

Všimni si, že žádný prvek p(i) nikdy nedosáhne nuly, ale když zvolíš libovolně malé, kladné číslo, vždy najdu nějaké p(i), které bude menší, než tvoje zvolené číslo. To je myšlenka limity.

Z naší posloupnosti p si teď uděláme řadu s.
Řada s je také posloupnost, ale jednotlivé prvky budou součty jiné posloupnosti, v našem případě p.

s(1) = p(1) = 1/2
s(2) = p(1) + p(2) = 3/4
s(3) = p(1) + p(2) + p(3) = 7/8
s(n) = p(1) + p(2) + ... + p(n) = (2^(n-1)) / (2^n)

Takže každý prvek s(i) je součtem prvních i prvků p(i). A stejně jako předtím si všimni dvou věcí. Každý prvek s(i) je větší, než ten předchozí. A všechny prvky s(i) jsou menší než jedna. Zase tu máme limitu a říkáme, že posloupnost s(n) se limitně blíží k jedné a píšeme lim s(n) = 1 pro n jdoucí do nekonečna.

A teď ta důležitá část. Platí sice, že žádný prvek s(n) nikdy nedosáhne jedné, ale kdykoliv si zvolíš hodnotu H mezi 0 a 1, vždy dokážu najít takový prvek s(n), který bude větší, než tvoje H, a přitom menší než jedna!

Všechno je to jen o tom, že si hrajeme s čísly. Dokázali jsme sestrojit taková čísla p(n), která jsou vždy větší než 0, ale současně jsou nekonečně malá. Podobně máme čísla s(n), která jsou sice menší, než 1, ale současně se k jedné přiblíží na nekonečně malou vzdálenost.

Teď si vezmi svoje číslo 0.999... a zamysli se nad ním jako nad posloupností:

p(1) = 0.9
p(2) = 0.09
p(3) = 0.009
p(n) = 0.0...09 (n-1 nul za desetinnou čárkou)

Všechny prvky posloupnosti jsou kladné, a také je každý další prvek menší, než ten předchozí a limitně se blíží k nule. To je stejné, jako před chvílí. Co když je zkusíme sčítat?

s(1) = p(1) = 0.9
s(2) = p(1) + p(2) 0.99
s(n) = p(1) + ... + p(n) = 0.9...9 (n devítek za desetinnou čárkou)

Dostaneme opět řadu podobnou té předchozí. Z toho, co už víme, platí, že lim s(n) = 1 pro n jdoucí do nekonečna. A tady je náš malý trik. Všechny prvky s(n) mají konečný počet desetinných míst, takže jsou všechny s(n) < 1. Jenže pokud nás zajímá 0.999... kde je počet míst nekonečný, tak se také nekonečně přiblížíme k hodnotě 1.

Platí tedy, 0.999.... = 1. Jenže to rovnítko nesmíš chápat jako "stejné", ale jako limitní případ s(nekonečno).
Takže ano, 0.999 s peridou rovná se 1.

Matoucí na tom je, že se tu rovnítko používá bez označení limity. To je ale v pořádku, protože to zjednodušuje život a v důsledku to rovnítko platí, protože je na levé straně nekonečný výraz, na jehož vyjádření potřebuješ limitu. Druhý důvod ke zmatení jsou nekonečné desetinné zlomky, které představují určitý druh posloupností a pokud s nimi pracuješ bez posloupností, dostaneš se rychle k paradoxům.

Takže pokud to zopakuji, 0.999... nemůžeš používat bez limit, protože má nekonečný zápis (na škole ho ovšem používáte intuitivně). A limitně platí, že 0.999... = 1.

Poznámka pro studenty druhého ročníku: Například pro každou reálnou funkci f(x) platí rovnost f(x) = SUM(c(k) * e^(2pix*k)), kde c(k) jsou konstanty. Tomu se říká Fourierova transformace. Tahle rovnost zjevně nemůže platit, protože na levé straně máme zcela libovolnou reálnou funkci f(x), zatímco pravá strana je C(n)-spojitá. Rovnítko mezi f(x) a SUM je také limitní případ - naprosto stejný jako výše u 0.999...=1. Až se budete Fourierku učit, vzpomeňte si na to, bude se to hodit ;-)

Akceptované řešení
+20 Zkušeností
+1 bodů
Řešení problému
 
Nahoru Odpovědět  +21 16.12.2014 4:41
Avatar
andrej200
Člen
Avatar
Odpovídá na coells
andrej200:

Děkuji za pomoc při řešení tohohle příkladu. Moc si mi pomohl. :)

Nahoru Odpovědět  +1 18.12.2014 19:14
Boj sa tých, ktorí sú ticho. Oni sú totiž tí jediní, ktorí skutočne myslia.
Avatar
oooooooo2
Člen
Avatar
Odpovídá na andrej200
oooooooo2:

Cau, at počítám jak počítám vždy mi to vyjde jinak než 0,999=1

Absolutně všude vidím ty samé příklady které dokazují teorii s výsledked 1 až na to že se všude opakuje ta samá chyba stále dokola, nechci tady vypadat jako rozumbrada ale je to promě ABSOLUTNĚ nepochopitelný jak muže doslova všem lidem vyjít že 10x0,999=0.99 dokonce i na kalkulačce to tak vychazí ale je to vskutku tak-samozrejmě že neni, nemusím to ani nijak matematicko-fizikálně dokazovat jen se podívejme na ten vsude ukazovanej příklad a pak si ho spočteme znovu tak jak má bejt.

Chybné řešení
x=0,999
10x=9,99
10x-x=9
9x=9
x=1

Správné řešení
x=0,999
10x=9,990
10x-x=8,991
9x=8,991
x=0,999

Což znamená že x není a nikdy nemuže být nic jinýho než 0,999 a ne žadná 1 a mužete si tam doplnit devítek kolik chcete a NIKDY v matematice tak jak ji všichni známe nemužete dospět k jinýmu závěru.

Prostě nelze vyhodit nulu protože to je nula a nic neznamená ikdyž je za desetinou čárkou 10x0,999=9,990 a ne nejakejch 0,99 ikdyž to takhle kalkulačka vypočítá sice dobře ale vlastně špatně, zkuste si vypočítat následovný 3 příklady na kalkulačce a zjistíte že to desetiný číslo tam prostě chybý

9x0,999=8,991
10x0,999=9,99 (0,990)
11x0,999=10,989

Chápu že je to detail a je to správně pro běžný obyčejný výpočty to všechno beru, ovšem pro tento výrok a zvlášt pro tento příklad je to nepochopitelný výpočetní zkrat.

Editováno 16.1.2015 3:19
 
Nahoru Odpovědět  -5 16.1.2015 3:15
Avatar
Jan Vargovský
Redaktor
Avatar
Jan Vargovský:

x=0,999
10x=9,990

Tohle není matematicky správně.

Btw, vyjádři si 0,9 periodických jako zlomek a pak až s tím počítej, pak ofc počítáš s jiným číslem...

Editováno 16.1.2015 4:03
 
Nahoru Odpovědět  +1 16.1.2015 3:59
Avatar
qwertyW
Redaktor
Avatar
Odpovídá na oooooooo2
qwertyW:

Problem je v rozdílu mezi číslem 0,99 s kterým pocitas ty a číslem 0,9 periodickych s kterým počítáme my ostatni . Samozřejmě plati ze 10x0.99 je 9.9, ale to nepocitas s tou periodou...

Nahoru Odpovědět  +1 16.1.2015 7:27
Programuji, tedy jsem.
Avatar
Selak
Člen
Avatar
Selak:

x = 0,99999 1 / 3 = 0,3333 * 3 = 0,9999
10x = 9,99999
10x - x = 9
9x = 9
x = 1

 
Nahoru Odpovědět 16.1.2015 11:15
Avatar
aetherofchao
Člen
Avatar
Odpovídá na coells
aetherofchao:

sory tvé argumenty jsou sice opravdu velmi logické, ale 0,33333333333­33333333..... * 3 není 0,99999999999­9999999999999­..... ale 1. ty jsi uvažoval tak, že sis v podstatě řekl, že se sečtou každé tři trojky ale v podstatě to tak není říká se tomu skepse konecného císla nebo tak nějak ale dá se to vyjádřit taky jako

0,3333333333333... = 1/3
to * 3 je 1/3 + 1/3 + 1/3 tedy 3/3 tedy 1

 
Nahoru Odpovědět 26.1.2015 16:34
Avatar
Odpovídá na aetherofchao
Petr Čech (czubehead):

To to tady přece tvrdíme, že 0,99999... = 1 :P

Nahoru Odpovědět 26.1.2015 17:36
Why so serious? -Joker
Avatar
aetherofchao
Člen
Avatar
Odpovídá na Petr Čech (czubehead)
aetherofchao:

ano ale já říkám že 0,3... * 3 není 0,9... ale jen 1

 
Nahoru Odpovědět 27.1.2015 18:36
Avatar
BlugW
Redaktor
Avatar
BlugW:

Dál to neřeším :D

Nahoru Odpovědět  +1 27.1.2015 19:05
Pořiď si mac na www.appletrh.cz. Novinky a zajímavosti ze světa Apple na https://www.applemagazin.eu
Avatar
kampkin
Člen
Avatar
Odpovídá na qwertyW
kampkin:

Také je obecně známo, že se napíše čárka před tečkou Vinnetou. :D

 
Nahoru Odpovědět 17.3.2015 21:00
Avatar
Jan xxx
Člen
Avatar
Jan xxx:

Logicky. Jak dlouho musím držet devítku, aby zní byla jednička?0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 Nikdy :-)

 
Nahoru Odpovědět  -7 25. února 19:56
Avatar
Fredep
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Jan xxx
Fredep:

Supr nápad psát do rok starého tématu. A pokud budeš držet devítku dostatečně dlouho, tak si zničíš klávesnici. ;) Přečti si příspěvky výše, tam je to vysvětleno..

Nahoru Odpovědět  +1 25. února 20:21
Týmová práce je důležitá proto, aby bylo možno obvinit z neúspěchu někoho jiného.
Avatar
Dan Houdek
Člen
Avatar
Dan Houdek:

Pardon lidi, že vstupuji do již mrtvého tématu, ale...

Pokud to budeme brát takto jednoduše takzvanou "středoškolskou" Matematikou, tak máš Selaku pravdu. Ale existují tzv. limity. (To se učí na Vysoké. Pokusím se to jednoduše vysvětlit...) Vždy musíme mít na paměti, kam se 0,9999xxxx blíží k jedné ,ale nikdy se 1 rovnat nebude. Tvoje argumenty sice jsou pro středoškoláka neprůstřelné, ale nemáš pravdu. Jakékoliv číslo s Periodou nemůžeš v rovnici ekvivalentně vynásobit, neboť ho nemůžeš přesně určit na číselné ose. Protože 0,99999 x 10 není 9,9999, ale 9,999999xxxx0. Ale na jaké pozici je ta nula? No to přece nevím, protože nemám dokončený rozbor. Pokud od 1 odečteš 0,9999999xxxxx tak sice dostaneš nulu, ale tzv. "kladnou nulu" 0+ . Protože musíš mít na paměti, že se sice 0,999xxx k 1 blíží, ale vždy bude o nekonečně malou hodnotu menší... Samotný problém je totiž v našem chápání matematiky a vůbec naše matematika obecně. Je sice komplexní, ale není dokonalá...

Sorry Fredepe, ale já si zkrátka nemohl pomoci :D :D

Editováno 16. května 21:43
 
Nahoru Odpovědět  +1 16. května 21:42
Avatar
Taskkill
Redaktor
Avatar
 
Nahoru Odpovědět 17. května 11:08
Avatar
Odpovídá na Dan Houdek
Petr Čech (czubehead):

My se učili limity teď ve třeťáku na gymplu...

Nahoru Odpovědět  +1 17. května 11:26
Why so serious? -Joker
Avatar
Zdeněk Pavlátka
Tým ITnetwork
Avatar
Nahoru Odpovědět 17. května 15:05
Kolik jazyků umíš, tolikrát jsi programátor.
Avatar
Odpovídá na David Čápka
Ondřej Jiří Beneš:

Omlouvám se, že reagují na skoro 2 roky starý příspěvek, ale tento "důkaz" my byl vyvrácen tím, že s periodou nemůžeme takové početní operace.

 
Nahoru Odpovědět 21. září 11:38
Avatar
P(r)D
Člen
Avatar
Odpovídá na Ondřej Jiří Beneš
P(r)D:

Ty si necháš vyvrátit "důkaz" nesmyslnou větou?

 
Nahoru Odpovědět  +1 21. září 12:10
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Ondřej Jiří Beneš
Martin Dráb:

Tak ukaž důkaz od coells, ač už má dosti vysokoškolské náležitosti.

Nahoru Odpovědět 21. září 13:51
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
David Hynek
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Ondřej Jiří Beneš
David Hynek:

To je jako u asymptot, tam se také číslo, které se této hranici přibližuje nikdy nedotkne. Stejně jako u limit, tam se ti nějaká funkce může blížit k nějakému konkrétnímu číslu, ale ani z jedné strany se jej nedotkne...

Nahoru Odpovědět 21. září 13:56
Čím víc vím, tím víc věcí nevím.
Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zobrazeno 26 zpráv z 26.