Gravitační pole a centrální gravitační pole Země

Gravitační pole

 Gravitační pole je prostor, ve kterém působí gravitační síly. Každá dvě tělesa jsou k sobě přitahovány silou, kterou nazýváme gravitační síla.

 

 

Newtonův gravitační zákon   

Dva hmotné body o hmotnosti m₁, m₂ se navzájem přitahují gravitačními silami F_g, jejichž velikost je přímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r. Platí tedy

<center></center>

kde gravitační konstanta k (kapa) = 6,67 . 10^–11 N × m² × kg^–2. (tab. vzadu)

Př : m1 = 5 t = 5 * 10³ kg 

  m2 = 15 t = 15 * 10³ kg 

  r = 2m 

 Fg = (6,67 * 10⁻¹¹ * 5 * 10³ * 15 * 10³) / 4 = 125 * 10⁻⁵ = 0,00125 N 

 

Intenzita gravitačního pole

V okolí každého tělesa existuje gravitační pole, které působí na jiná tělesa.

 - intenzita gravitačního pole zavedena pro jejich porovnávání

 - daném místě pole ji definujeme:

 - vektorová veličina stejného směru jako gravitační síla F_g, která působí v daném místě na HB. [K] = N × kg^–1

 

Po dosazení do vztahu za gravitační sílu dle Newt. zákona:

Vektor intenzity gravitačního pole vždy směřuje do středu tělesa o hmotnosti M. Takové pole je centrální gravitační pole a střed tělesa gravitační střed centrálního pole.

Velikost intenzity gravitačního pole ve výšce h nad zemským povrchem je

 

Velikost intenzity se s rostoucí výškou nad povrchem Země zmenšuje. Když sledujeme gravitační pole Země na malých plochách, např. na ploše o rozměrech několika set metrů, lze gravitační pole považovat za homogenní. Intenzita v homogenním gravitačním poli je konstantní.

 

M_Z je hmotnost Země (5,98 × 10²⁴ kg)

 R_Z poloměr Země (6,37 × 10⁶ m)

 

 

Pohyby těles v centrálním (radiálním) gravitačním poli Země

 - radiální gravitační pole je pole, kde směr gravitační síly a zrychlení míří ve všech místech do jednoho bodu - středu.

 

 

 

 

 

Pohyby těles v radiálním (centrálním) tíhovém poli

Vrhy jsou pohyby těles homogenním tíhovém poli. U pohybů raket, družic nebo kosmických lodí se musí počítat s tím, že se pohybují už v radiálním poli. Trajektorie družice závisí na její rychlosti:

 

Kosmické rychlosti

Poměrně malá počáteční rychlost - těleso se pohybuje po části elipsy, než narazí na povrch Země. Část elipsy se zvětšuje s rychlostí tělesa. Při větších rychlostech už těleso na zemský povrch nedopadne, ale opíše celou elipsu.

 

1. kosmická rychlost(kruhová) 

 - těleso opisuje kružnici se středem ve středu Země. Na toto těleso působí jednak zemská gravitace F_g jednak odstředivá(dos­tředivá) síla F_o. Tyto síly jsou v rovnováze.

pro velmi malou výšku: v_k = 7,9 km × s^–1 (zanedbáme h)

Oběžná doba družice: T = 2pi(Rz + h) / v_k 

Při větších rychlostech těleso přechází na pohyb kolem Země po elipse, a to až do rychlosti v_p

  

2. kosmická rychlost (parabolická /úniková/)

Při rychlosti v_p = 11,2 km × s^–1 () se eliptická trajektorie mění na parabolickou a těleso se trvale vzdaluje od Země (je však v gravitačním poli Slunce)

 

3. kosmická rychlost

Po překročení rychlosti v = 16,7 km × s^–1 těleso opouští sluneční soustavu.  

 

Pro lety ve vesmíru se využívá zákonu setrvačnosti a gravitace (ve vakuu je nic nebrzdí). Motory se používají jen při startu, brzdění a korekcích kurzu. Jinak družice letí setrvačností a pro zrychlení využívají gravitace planet → gravitační praky.

-          Rychlosti jsou v tab. na úplně poslední straně

 

Keplerovy zákony - pohyby těles v grav. poli Slunce

 - Pohyby planet okolo Slunce se řídí Keplerovými zákony (hlavní roli hraje grav. pole slunce - excentricita), platí nejen pro planety, ale i jiná tělesa (měsíce, družice...)

1. Keplerův zákon (zákon drah):             

Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách (téměř kružnicích), které je jejich společným ohniskem. P a A.

 

2. Keplerův zákon (zákon plošných rychlostí): 

Plocha opsaná průvodičem planety (spojuje střed planety se středem Slunce) za jednotku času je vždy stejná. Důsledek: pohyb planet není rovnoměrný.

 P - perihélium (přísluní) - nejrychleji

A - afélium (odsluní) - nejpomaleji

 

3. Keplerův zákon (zákon oběžných dob):         

Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin délek hlavních poloos jejich drah.

 - v tab.

Vzdálenosti ve sluneční soustavě se měří v astronomických jednotkách AU, které odpovídají střední vzdálenosti Země od Slunce.

 

 

Gravitační a tíhové zrychlení

Gravitační síla udílí tělesu o hmotnosti m v daném bodě gravitační zrychlení a_g = F_g/m

(je totožná s intenzitou gravitačního pole K = a_g)

Na povrchu Země je gravitační zrychlení a_g = 9,83  m × s^–1 (často zaokrouhlováno na 10)

 

Na Zemi se však setkáváme s tíhovou silou F_G a tíhovým zrychlením g. Ty se od gravitační síly, resp. gravitačního zrychlení liší. Je to proto, že Země se otáčí kolem své osy. Na povrchu Země působí kromě gravitační síly F_g ještě setrvačná odstředivá síla F_s otáčení Země kolem své osy (otáčející se soustava je neinerciální soustava).,

 

Tíhová síla F_G je jejich vektorovým součtem:

F_G = F_g + F_s

 

Působením tíhové síly vzniká tíhové zrychlení g.

Svislý směr je směr tíhové síly a směr tíhového zrychlení, ale není to vždy směr do středu Země (do středu země tíhová síla směřuje jen na pólech a na rovníku). Prostor, kde se projevují tíhové síly se označuje jako tíhové pole.

Pro velikost odstředivé síly F_s platí:

F_s = m × w² × r = (m × w² × R_Z × cos j)

r je vzdálenost místa na povrchu Země od osy otáčení, w úhlová rychlost otáčení země (w = 2p/T; T = 1 den), R_Z je poloměr Země, j zeměpisná šířka místa.

Z toho vyplývá, že největší odstředivá síla je na rovníku a nulová na pólech. Velikost tíhového zrychlení závisí na zeměpisné šířce a také na nadmořské výšce (liší se však jen v řádech setin). Dohodou bylo stanoveno normální tíhové zrychlení → u hladiny moře na 45° severní šířky Þ 9,80665 m × s^–2. V malé oblasti na zemském povrchu lze i tíhové pole považovat za homogenní.

 

-       nejmenší na rovníku - 9,79 ms⁻²

-       u nás - 9,81 ms⁻²

-       největší na pólech 9,83 ms⁻²

 

 

 

Potenciál tíhového pole Fí je polohová energie připadající na jednotku hmotnosti.

 - není v tab.

 

Ekvipotencionální plochy: množina bodů, které mají stejný potenciál, u Země kulové plochy (v desk. Kondenzátoru jsou to rovnoběžky). 

 

 

 

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

- homogenní gravitační pole je pole, kde směr gravitační síly a zrychlení míří stále stejným směrem. Respektive změny jsou tak nepatrné, že je můžeme zanedbat. To platí při povrchu planet na vzdálenosti několika set m.

1) Rovnoměrný přímočarý pohyb

 - nejjednodušší pohyb, těleso urazí za stejné časové celky stejné dráhy, rychlost je konstantní  - nemění svou velikost ani směr. (a = 0)

   

 

 

 

    v = s / t;         s = s0 + v * t

 

  

Rychlost na čase         dráha na čase – oboje přímka,      vyšrafovaná rychlost v metrech

 

2) Rovnoměrně zrychlený / zpomalený přímočarý pohyb                                            

 - velikost ani směr zrychlení se nemění, probíhá po přímce. a = (v - v0) / t = konst. 

 - například: auto vyjede z obce a zrychlí (mění se velikost rychlosti a ne její směr)

okamžitá rychlost: v = v₀ + at;        Rychlost je přímo úměrná času a konstantou úměrnosti je zrychlení. 

s = s₀ + v₀t + 1/2 a t²                         Dráha je přímo úměrná čtverci času 

pro rovnoměrně zpomalený pohyb by platilo: v = v₀ - at;     s = s₀ + v₀t - 1/2 a t²

trajektorií je přímka

Graf závislosti rychlosti na čase:

 

 

 

 

-  Vyšrafovaná část / je dráha při rychlosti v₀, vyšrafovaná \ je dráha vykonaná při RZP, Suma = celk. dráha

graf závislosti dráhy na čase je parabola:

 

 

 

 

 

  

 

rovnoměrně zrychlený pohyb (zrychlení pro směr pohybu)                                rovnoměrně zpomalený pohyb (proti)

(v₀ = 0, zrychlení = a)

 

3) Volný pád

 - speciální případ rovnoměrně zrychleného pohybu, směr je vždy do středu Země, zrychlení se značí g = tíhové zrychlení = 9,81 u nás.

 - předpokládáme, že těleso padá z klidu - v0 = 0

v = g * t;    s = 1/2 g t²

rychlost dopadu: s=1/2gt² -> t=sqrt(2h/g) -> v = sqrt (2gh), graf parabola, jen opačně. h = s

 

4) Vrhy

 - složené pohyby, z volného pádu a rovnoměrného přímočarého pohybu

počáteční rychlost je nenulová -> v0 != 0

Svislý vrh vzhůru

s = v₀t - 1/2 a t²

v = v₀ - gt

dolů: to samé, jen opačně znamínka

Vodorovný

Př. Vytékající kapalina, kulička, která přejede hranu vodorovného stolu.

vzdálenost od místa vrhu

  d = v₀ * t - není v tab.

okamžitá výška:                      - není v tab. 

 

 

Vrh šikmý

 - využívá se v balistice a jeho grafem je balistická křivka

 - délka závisí na počáteční rychlosti v₀ a na úhlu a, pod kterým bylo těleso vrženo.

 Délka vrhu bude největší pro úhel 45°, stejná pro dvojice a a 90° – a, tzn. 15° a 75° nebo 30° a 60°.

Př. Výstřel z děla (a < 45°), z minometu (a > 45°).

Trajektorií šikmého vrhu parabola ve vakuu a balistická křivka ve vzduchu. Balistická křivka je vždy kratší než parabola, protože ve vzduchu proti pohybu působí odpor prostředí.

 

5) Nerovnoměrný pohyb

 - mění se rychlost, čili zavádíme pojem průměrná rychlost

vp = delta v / delta t - podíl rozdílů drah (s1 - s2) a časů (t1 - t2)