Diskuze: Je 0,9999... rovno 1
http://www.videacesky.cz/…ovy-paradoxy v tomto videu to
pěkně vysvětlují 
coells:16.12.2014 4:41
Vůbec se ti nedivím, že tomu nerozumíš. Je to dáno tím, že s čísly se většinou zachází pouze intuitivně bez pevně definovaného základu. Jenže jakmile se někde objeví nekonečno, přestává intuice fungovat a většina závěrů bývá mylná nebo se jeví paradoxně.
Třeba David Hartinger se to snaží dokázat tak, že 1/3*3 = 1. To je poměrně intuitivní závěr, ale, bohužel, vůbec nic nedokazuje. Dělení totiž není až tak intuitivní, jak se zdá. Za prvé, určitě není pravda, že by vždy platilo a/b*b = a (můžete se zamyslet, proč ne). A za druhé, problém tohoto "důkazu" spočívá v několika částech:
- je opravdu 1/3 rovno 0.333...?
- můžu jen tak vynásobit periodické číslo?
- dělení zavádíme jako inverzní operaci k násobení
Pokud pominu důvody (a) a (b), kvůli kterým má takový důkaz stejné problémy jako původní rovnost, pak další problém nastává v zavedení operace dělení. Platí totiž, že pro každé a reálné, různé od 0, existuje právě jedno x takové, že a * x = 1. Říkáme, že x je inverzní prvek a značíme ho x=a−1. Operaci dělení pak zavedeme jako a / b = a * b−1. Pokud nejsme v reálných číslech, nemusí inverzní prvek vždy existovat a pak také nejde dělit. David se tedy snaží ukázat, že a * b−1 * b = a, jenže to je krok zpět k definici. Ne, že by to podobným způsobem ukázat nešlo, ale musí se jít z druhé strany a pomoci si spočetností přirozených čísel, což je hluboce za rámec analýzy prvního semestru.
Takže zpět k tvé otázce, proč je 0.999... = 1?
Abych ti to ukázal, musím použít posloupnosti a řady. Posloupnost pro nás bude nekonečný seznam čísel, ale takový, že každý prvek můžeme označit právě jedním přirozeným číslem. Vezmu si jednu takovou posloupnost p:
p(1) = 1/2
p(2) = 1/4
p(3) = 1/8
p(n) = 1/(2^n)U téhle posloupnosti jsou důležité dvě věci. Každý další člen je menší, než ten předchozí (vlastně je poloviční). A každý člen je současně větší než nula. Pokud budeme zkoumat prvky posloupnosti p(n) pro větší a větší n, budeme se stále přibližovat k nule, ale nikdy ji nedosáhneme. Takovému jevu říkáme, že se posloupnost p limitně blíží k nule a píšeme lim p(n) = 0 pro n jdoucí do nekonečna.
Všimni si, že žádný prvek p(i) nikdy nedosáhne nuly, ale když zvolíš libovolně malé, kladné číslo, vždy najdu nějaké p(i), které bude menší, než tvoje zvolené číslo. To je myšlenka limity.
Z naší posloupnosti p si teď uděláme řadu s.
Řada s je také posloupnost, ale jednotlivé prvky budou součty jiné
posloupnosti, v našem případě p.
s(1) = p(1) = 1/2
s(2) = p(1) + p(2) = 3/4
s(3) = p(1) + p(2) + p(3) = 7/8
s(n) = p(1) + p(2) + ... + p(n) = (2^(n-1)) / (2^n)Takže každý prvek s(i) je součtem prvních i prvků p(i). A stejně jako předtím si všimni dvou věcí. Každý prvek s(i) je větší, než ten předchozí. A všechny prvky s(i) jsou menší než jedna. Zase tu máme limitu a říkáme, že posloupnost s(n) se limitně blíží k jedné a píšeme lim s(n) = 1 pro n jdoucí do nekonečna.
A teď ta důležitá část. Platí sice, že žádný prvek s(n) nikdy nedosáhne jedné, ale kdykoliv si zvolíš hodnotu H mezi 0 a 1, vždy dokážu najít takový prvek s(n), který bude větší, než tvoje H, a přitom menší než jedna!
Všechno je to jen o tom, že si hrajeme s čísly. Dokázali jsme sestrojit taková čísla p(n), která jsou vždy větší než 0, ale současně jsou nekonečně malá. Podobně máme čísla s(n), která jsou sice menší, než 1, ale současně se k jedné přiblíží na nekonečně malou vzdálenost.
Teď si vezmi svoje číslo 0.999... a zamysli se nad ním jako nad posloupností:
p(1) = 0.9
p(2) = 0.09
p(3) = 0.009
p(n) = 0.0...09 (n-1 nul za desetinnou čárkou)Všechny prvky posloupnosti jsou kladné, a také je každý další prvek menší, než ten předchozí a limitně se blíží k nule. To je stejné, jako před chvílí. Co když je zkusíme sčítat?
s(1) = p(1) = 0.9
s(2) = p(1) + p(2) 0.99
s(n) = p(1) + ... + p(n) = 0.9...9 (n devítek za desetinnou čárkou)Dostaneme opět řadu podobnou té předchozí. Z toho, co už víme, platí, že lim s(n) = 1 pro n jdoucí do nekonečna. A tady je náš malý trik. Všechny prvky s(n) mají konečný počet desetinných míst, takže jsou všechny s(n) < 1. Jenže pokud nás zajímá 0.999... kde je počet míst nekonečný, tak se také nekonečně přiblížíme k hodnotě 1.
Platí tedy, 0.999.... = 1. Jenže to rovnítko nesmíš chápat jako
"stejné", ale jako limitní případ s(nekonečno).
Takže ano, 0.999 s peridou rovná se 1.
Matoucí na tom je, že se tu rovnítko používá bez označení limity. To je ale v pořádku, protože to zjednodušuje život a v důsledku to rovnítko platí, protože je na levé straně nekonečný výraz, na jehož vyjádření potřebuješ limitu. Druhý důvod ke zmatení jsou nekonečné desetinné zlomky, které představují určitý druh posloupností a pokud s nimi pracuješ bez posloupností, dostaneš se rychle k paradoxům.
Takže pokud to zopakuji, 0.999... nemůžeš používat bez limit, protože má nekonečný zápis (na škole ho ovšem používáte intuitivně). A limitně platí, že 0.999... = 1.
Poznámka pro studenty druhého ročníku: Například pro každou reálnou
funkci f(x) platí rovnost f(x) = SUM(c(k) * e^(2pix*k)), kde c(k) jsou
konstanty. Tomu se říká Fourierova transformace. Tahle rovnost zjevně
nemůže platit, protože na levé straně máme zcela libovolnou reálnou
funkci f(x), zatímco pravá strana je C(n)-spojitá. Rovnítko mezi f(x) a SUM
je také limitní případ - naprosto stejný jako výše u 0.999...=1. Až se
budete Fourierku učit, vzpomeňte si na to, bude se to hodit 
+20 Zkušeností
+2,50 Kč
Logicky. Jak dlouho musím držet devítku, aby zní byla
jednička?0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
Nikdy
Neaktivní uživatel:25.2.2016 20:21
Supr nápad psát do rok starého tématu. A pokud budeš držet devítku
dostatečně dlouho, tak si zničíš klávesnici. Přečti si příspěvky výše, tam
je to vysvětleno..
Pardon lidi, že vstupuji do již mrtvého tématu, ale...
Pokud to budeme brát takto jednoduše takzvanou "středoškolskou" Matematikou, tak máš Selaku pravdu. Ale existují tzv. limity. (To se učí na Vysoké. Pokusím se to jednoduše vysvětlit...) Vždy musíme mít na paměti, kam se 0,9999xxxx blíží k jedné ,ale nikdy se 1 rovnat nebude. Tvoje argumenty sice jsou pro středoškoláka neprůstřelné, ale nemáš pravdu. Jakékoliv číslo s Periodou nemůžeš v rovnici ekvivalentně vynásobit, neboť ho nemůžeš přesně určit na číselné ose. Protože 0,99999 x 10 není 9,9999, ale 9,999999xxxx0. Ale na jaké pozici je ta nula? No to přece nevím, protože nemám dokončený rozbor. Pokud od 1 odečteš 0,9999999xxxxx tak sice dostaneš nulu, ale tzv. "kladnou nulu" 0+ . Protože musíš mít na paměti, že se sice 0,999xxx k 1 blíží, ale vždy bude o nekonečně malou hodnotu menší... Samotný problém je totiž v našem chápání matematiky a vůbec naše matematika obecně. Je sice komplexní, ale není dokonalá...
Sorry Fredepe, ale já si zkrátka nemohl pomoci 
Zobrazeno 26 zpráv z 26.