Diskuze: Průběh funkce
Člen
Kateřina Břízová:15.6.2017 11:28
Děkuji 
zadání je fakt
takovýhle... co mě ale zaráží, že učitel říkal, že tam mâ být
inflexní bod :/
Zobrazeno 11 zpráv z 11.
U toho prvního (platí obecně) bude směrnice asymptoty: k = lim [x ->
nekonečno] ( f(x) / x ).
Absolutní člen v rovnici asymptoty máš: q = lim [x -> nekonečno] (f(x) -
k*x).
Inflexní bod je tam, kde je 2. derivace funkce rovna nule. V tomto bodě (infexe) se taky musí graf první derivace měnit z rostoucí na klesající, nebo naopak. (musí platit obě podmínky, jinak bod není inflexní)
V tomto bodě (infexe) se taky musí graf první derivace měnit z rostoucí na klesající, nebo naopak. (musí platit obě podmínky, jinak bod není inflexní)
Tohle platí pro druhou derivaci; pokud nemění znaménko, nemění se křivost funkce (z konvexní na konkávní), což znamená, že v daném bodě bude lokální extrém.
První derivace v případě inflexního bodu ani nemusí být nulová, i když je to asi nejtypičtější případ (u rozumných funkcí).
Máme funkci
y = x^2/(x-2) = (x^2 - 4 + 4) / (x-2) = x + 2 + 4/(x-2)Definiční obor je (-nekonečno;2) a (2;nekonečno).
První derivace
y' = (x^2 / (x - 2))' = 1 - 4/(x-2)^2Ta je nulová pro x
1 = 4/(x-2)^2
x^2 - 4x = 0
x*(x - 4) = 0
x_1 = 0, x_2 = 4První derivace je v kladná v (-nekonečno;0) a (4;nekonečno) (funkce zde roste), v (0;4) je záporná (funkce klesá).
Druhá derivace
y'' = (1 - 4/(x - 2)^2)' = 8*(x - 2) / (x-2)^2 = 8 / (x - 2)^3Druhá derivace je záporná v (-nekonečno;2) (funkce je konkávní) a kladná v (2;nekonečno) (funkce je tam konvexní. Vzhledem k tomu, že nikde není nulová, funkce nemá inflexní bod.
Tohle ti již dává nějaký návod, jak tu funkci od ruky nakreslit. Pro další podrobnosti můžeš spočítat, kde funkce protíná osu x a y (dosazením za y, resp. x, nulu do předpisu ).
To se přece nevylučuje: První derivace určuje směrnici asymptoty - pokud graf první derivace klesá, směrnice se zmenšuje a graf funkce je "obloukem nahoru" -> konkávní. Pokud graf 1. derivace roste, směrnice roste a graf funkce je "obloukem dolů" - konvexní.
A tam kde je 2. derivace záporná, tam je 1. derivace klesající, kde je 2. derivace kladná je 1. derivace rostoucí.
Co se týče dvojky, tak je předpis:
y = (x^3 + 3x^2 + 5)/ x = x^2 + 3x + 5/xDefiničním oborem funkce je vše kromě nuly.
První derivace:
y' = (x^2 + 3x + 5/x)' = 2x + 3 - 5/x^2Je nulová v
0 = 2x + 3 - 5/x^2
0 = 2x^3 + 3x^2 - 5
x_1 = 1 (uhodnuto)Jestli dobře počítám, v jiných bodech první derivace nulová není (záporný diskriminant po vydělení pravé strany výrazem x - 1). Derivace je záporná (funkce klesá) v intervalech (-nekonečno;0) a (0;1) a je kladná v (1;nekonečno) (funkce tam roste).
Druhá derivace
y'' = (2x + 3 - 5/x^2)' = 2 + 10/x^3která zase nikdy nebude nulová (funkce nemá inflexní bod). V intervalu (-nekonečno;0) je záporná (fce je konkávní), v (0;1) a (1;nekonečno) je kladná (funkce je konvexní).
Zase půjdou spočítat průniky s osami x a y, ale nevypadá to tady moc hezky. Může to být tím, že počítám špatně, nebo jsi nechtěně opsala špatně zadání.
Mrkni na funkci
y = x^3První i druhá derivace jsou rovné nule v x = 0, ale první derivace je na celém definičním oboru funkce (R) nezáporná.
Však říkám "rostoucí" nebo "klesající". Ne kladná nebo záporná. U této funkce její 1. derivace je sice nezáporná, ale od mínus nekonečna do 0 je klesající, od 0 do nekonečna je rostoucí.
Děkuji zadání je fakt
takovýhle... co mě ale zaráží, že učitel říkal, že tam mâ být
inflexní bod :/
Hm, když se na to teď dívám, tak minimálně u té druhé derivace jsem byl příliš rychlý, co se týče závěrů. Pokud
y''' = 2 + 10/x^3Pak inflexní bod (resp. kandidát na něj) může existovat, protože
0 = 2 + 10/x^3
x^3 + 5 = 0
x_1 = -odm3(5)Tzn. minimálně bod x = -odm3(5) je kandidátem na inflexní, ale aktuálně nemám čas to řešit dále (až snad večer).
Zobrazeno 11 zpráv z 11.