C# týden ITnetwork Flashka zdarma
Akce! Pouze tento týden sleva až 80 % na kurzy C# .NET. Lze kombinovat s akcí 50 % bodů navíc na prémiový obsah!
Brno? Vypsali jsme pro vás nové termíny školení Základů programování a OOP v Brně!

Diskuze: Průběh funkce

Aktivity (1)
Avatar
Kateřina Břízová:14.6.2017 19:29

Zdavíčko, po odpoledni zabořeném v sešitě se na Vás obracím s dotazem. Mám zadané dvě fce 1)x2/(x-2)
2)(x3 + 3x2 + 5)/ x
Mám udêlat graf. U prvního nevím jak asymptota se směrnicí. U druhého jsem úplně v hájí a nepřišla jsem pořádně na nic. A ještě bych potřebovala vysvětlit, jak se dělají inflexní body(ve škole jsme to nedělali, ale v prověrce to bude) moc děkuji za jakoukoliv pomoc.

 
Odpovědět 14.6.2017 19:29
Avatar
Lukas C#
Redaktor
Avatar
Lukas C#:14.6.2017 20:11

U toho prvního (platí obecně) bude směrnice asymptoty: k = lim [x -> nekonečno] ( f(x) / x ).
Absolutní člen v rovnici asymptoty máš: q = lim [x -> nekonečno] (f(x) - k*x).

Inflexní bod je tam, kde je 2. derivace funkce rovna nule. V tomto bodě (infexe) se taky musí graf první derivace měnit z rostoucí na klesající, nebo naopak. (musí platit obě podmínky, jinak bod není inflexní)

Editováno 14.6.2017 20:11
 
Nahoru Odpovědět 14.6.2017 20:11
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Lukas C#
Martin Dráb:14.6.2017 21:46

V tomto bodě (infexe) se taky musí graf první derivace měnit z rostoucí na klesající, nebo naopak. (musí platit obě podmínky, jinak bod není inflexní)

Tohle platí pro druhou derivaci; pokud nemění znaménko, nemění se křivost funkce (z konvexní na konkávní), což znamená, že v daném bodě bude lokální extrém.

První derivace v případě inflexního bodu ani nemusí být nulová, i když je to asi nejtypičtější případ (u rozumných funkcí).

Nahoru Odpovědět 14.6.2017 21:46
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:14.6.2017 22:05

Máme funkci

y = x^2/(x-2) = (x^2 - 4 + 4) / (x-2) = x + 2 + 4/(x-2)

Definiční obor je (-nekonečno;2) a (2;nekonečno).

První derivace

y' = (x^2 / (x - 2))' = 1 - 4/(x-2)^2

Ta je nulová pro x

1 = 4/(x-2)^2
x^2 - 4x = 0
x*(x - 4) = 0
x_1 = 0, x_2 = 4

První derivace je v kladná v (-nekonečno;0) a (4;nekonečno) (funkce zde roste), v (0;4) je záporná (funkce klesá).

Druhá derivace

y'' = (1 - 4/(x - 2)^2)' = 8*(x - 2) / (x-2)^2 = 8 / (x - 2)^3

Druhá derivace je záporná v (-nekonečno;2) (funkce je konkávní) a kladná v (2;nekonečno) (funkce je tam konvexní. Vzhledem k tomu, že nikde není nulová, funkce nemá inflexní bod.

Tohle ti již dává nějaký návod, jak tu funkci od ruky nakreslit. Pro další podrobnosti můžeš spočítat, kde funkce protíná osu x a y (dosazením za y, resp. x, nulu do předpisu ).

Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:05
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Lukas C#
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Martin Dráb
Lukas C#:14.6.2017 22:15

To se přece nevylučuje: První derivace určuje směrnici asymptoty - pokud graf první derivace klesá, směrnice se zmenšuje a graf funkce je "obloukem nahoru" -> konkávní. Pokud graf 1. derivace roste, směrnice roste a graf funkce je "obloukem dolů" - konvexní.

A tam kde je 2. derivace záporná, tam je 1. derivace klesající, kde je 2. derivace kladná je 1. derivace rostoucí.

 
Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:15
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:14.6.2017 22:27

Co se týče dvojky, tak je předpis:

y = (x^3 + 3x^2 + 5)/ x = x^2 + 3x + 5/x

Definičním oborem funkce je vše kromě nuly.

První derivace:

y' = (x^2 + 3x + 5/x)' = 2x + 3 - 5/x^2

Je nulová v

0 = 2x + 3 - 5/x^2
0 = 2x^3 + 3x^2 - 5
x_1 = 1 (uhodnuto)

Jestli dobře počítám, v jiných bodech první derivace nulová není (záporný diskriminant po vydělení pravé strany výrazem x - 1). Derivace je záporná (funkce klesá) v intervalech (-nekonečno;0) a (0;1) a je kladná v (1;nekonečno) (funkce tam roste).

Druhá derivace

y'' = (2x + 3 - 5/x^2)' = 2 + 10/x^3

která zase nikdy nebude nulová (funkce nemá inflexní bod). V intervalu (-nekonečno;0) je záporná (fce je konkávní), v (0;1) a (1;nekonečno) je kladná (funkce je konvexní).

Zase půjdou spočítat průniky s osami x a y, ale nevypadá to tady moc hezky. Může to být tím, že počítám špatně, nebo jsi nechtěně opsala špatně zadání.

Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:27
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Lukas C#
Martin Dráb:14.6.2017 22:30

Mrkni na funkci

y = x^3

První i druhá derivace jsou rovné nule v x = 0, ale první derivace je na celém definičním oboru funkce (R) nezáporná.

Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:30
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Lukas C#
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Martin Dráb
Lukas C#:14.6.2017 22:40

Však říkám "rostoucí" nebo "klesající". Ne kladná nebo záporná. U této funkce její 1. derivace je sice nezáporná, ale od mínus nekonečna do 0 je klesající, od 0 do nekonečna je rostoucí.

 
Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:40
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Lukas C#
Martin Dráb:14.6.2017 22:51

Ah, derivace, ne funkce, rozumím.

Nahoru Odpovědět 14.6.2017 22:51
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Odpovídá na Martin Dráb
Kateřina Břízová:15.6.2017 11:28

Děkuji :) zadání je fakt takovýhle... co mě ale zaráží, že učitel říkal, že tam mâ být inflexní bod :/

 
Nahoru Odpovědět 15.6.2017 11:28
Avatar
Martin Dráb
Redaktor
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:15.6.2017 11:55

Hm, když se na to teď dívám, tak minimálně u té druhé derivace jsem byl příliš rychlý, co se týče závěrů. Pokud

y''' = 2 + 10/x^3

Pak inflexní bod (resp. kandidát na něj) může existovat, protože

0 = 2 + 10/x^3
x^3 + 5 = 0
x_1 = -odm3(5)

Tzn. minimálně bod x = -odm3(5) je kandidátem na inflexní, ale aktuálně nemám čas to řešit dále (až snad večer).

Nahoru Odpovědět 15.6.2017 11:55
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zobrazeno 11 zpráv z 11.