NOVINKA: Kurz kybernetické bezpečnosti s akreditací MŠMT, nyní již od 0 Kč. Staň se žádaným profesionálem. Zjisti více:

Diskuze: Rovnice přímky, parametrický a obecný tvar

Aktivity
Avatar
Ela Marine
Člen
Avatar
Ela Marine :9.1.2017 19:49

Ahoj všichni,

počítám si nějaké cvičné příklady z matematiky, mám všechny, jen tyto dva mi dělají problém, netuším, jak je spočítat, nic mi nevychází. :/ Moc děkuji za radu, zde jsou příklady:

1. Napište rovnici roviny (v parametrickém i obecném tvaru), která prochází bodem A[-1;-1;2] a
je kolmá k rovinám α: x-2y+z-4=0 a β: x+2y-2z+4=0.

2. Napište rovnici (v parametrickém i obecném tvaru), která prochází body A a B a je
rovnoběžná s přímkou CD.
A[0;1;0], B[-1;0;1], C[1;2;-2], D[0;3;0]

 
Odpovědět
9.1.2017 19:49
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Odpovídá na Ela Marine
Martin Dráb:9.1.2017 21:29

2)
Pro vyjádření parametrického tvaru roviny ideálně potřebuješ znát jeden její bod a dva vektory. Přitom víš, že rovina prochází body A a B a je rovnoběžná s přímkou |CD|. Jelikož znáš dva body z roviny (A, B), znáš i jeden vektor (u = B - A) a díky rovnoběžnosti i druhý (D - C). Za potřebný bod zvol třeba A.

u = (-1;-1;1)
v = (-1;1;2)

Takže parametrický tvar bude:

x = 0 - s - t
y = 1 - s + t
z = 0 + s + 2*t

Co se týče obecného tvaru, vypočteme normálový vektor naší roviny jako vektorový součin vektorů u a v.

-1 1 -1 -1
 1 2 -1  1
------------
(-3;1;-2)

obecný tvar tedy bude něco na způsob -3x + y -2z + d = 0, musíme tedy ještě vypočítat d. Jelikož víme, že bod A v naší rovině leží, musí po jeho dosazení vyjít levá strana obecného tvaru nulová. Tak tedy dopočítáme d.

-3 * 0 + 1 * 1 - 2 * 0 + d = 0
d = - 1

Obecný tvar je tedy:

-3x + y - 2z - 1 = 0

A teď stačí jen doufat, že jsem se nikde nespletl...

Editováno
Nahoru Odpovědět
9.1.2017 21:29
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Martin Dráb:9.1.2017 21:44

1) (jen ve zkratce, mělo by ti pomoci řešení druhé úlohy výše, protože ty kroky se tam dost opakují... ale kdyžtak rozepíšu):

Víme, že hledaná rovina je kolmá na dvě nám známé roviny, což znamená, že její normálový vektor je kolmý na oba nám známé normálové vektory (normálový vektor tvoří koeficienty a, b, c z obecného tvaru roviny). Podobně jako v 2) získáme kolmý vektor tyto normálové skrz jejich vektorový součin. Tím známe tři koeficienty obecného tvaru hledané roviny. Čtvrtý dopočítáme úplně stejně jako v 2) – prostě dosadíme souřadnice bodu A a dopočítáme d.

Pak již zbývá získaný obecný tvar převést na parametrický (což si teď úplně nevybavuji, ale neměl by to být problém :-( ).

Nahoru Odpovědět
9.1.2017 21:44
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Ela Marine
Člen
Avatar
Odpovídá na Martin Dráb
Ela Marine :9.1.2017 23:57

Moc děkuju, jenom moc nechápu, proč je y = 1 -... a z = 0 +... a ne obráceně? Už je na mě asi moc pozdě :D :)

 
Nahoru Odpovědět
9.1.2017 23:57
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Odpovídá na Ela Marine
Martin Dráb:10.1.2017 1:11

Nejsem si teď úplně jistý, zda-li rozumím významu slova "obráceně". Pokud ti jde o znaménka, dají se rozumným způsobem změnit.

Vypočítal jsem tam vektory

u = (-1;-1;1)
v = (-1;1;2)

ale u každého z nich můžu převrátit znaménka (třeba u nahradit vektorem (1;1;-1)) a postup zůstane stejný, jen se trochu změní čísla, protože vektor u je jiný. Vektory zde udávají směr; jelikož jsou roviny "přímé", nevadí ani to, když nějaký vektor, který je popisuje, otočís o 180°. Nezáleží ani na jejich velikosti (např. můžu vzít u jako (-0.5, -0.5, 0.5) (vynásobím jej jednou polovinou) a pořád se mi rovina nezmění. Pokud ale budu chtít z parametrické rovnice dostat stejný bod jako předtím, budu muset dosadit jiné parametry t a s.

Co se týče orientace vektorů, je zvykem počítat je jako cílový_bod - počáteční_bod (takže když se mluví o přímce CD, její vektor se spočítá jako D - C). Ale jak píšu výše, pokud ti nevadí, že ti vektor ukazuje na opačnou stranu (což u rovin nevadí), nemusíš se bát, když to odečítání otočíš (jen asi ve škole učitelé nebudou nadšení...).

Podobně je to u obecné rovnice roviny. Vyšla mi

-3x + y - 2z - 1 = 0

ale klidně na ní mohu provést nějaké ekvivalentní ýpravy (vynásobit minus jedničkou (3x - y + 2z + 1 = 0) nebo třeba tisícem) a až jejich výsledek prohlásit za tu správnou obecnou rovnici roviny. Také budu mít pravdu – pořád bude popisovat stejnou rovinu.

To znamená, že pokud ti výsledky vyšly trochu jinak, nemusí být špatně (pokud třeba ty v učebnici dostaneš tak, že tvůj výsledek něčím vynásobíš).

Nahoru Odpovědět
10.1.2017 1:11
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zobrazeno 5 zpráv z 5.