Diskuze: Slovní úloha na derivace
Člen
Zobrazeno 5 zpráv z 5.
Pokud to chápu správně, máme válec o objemu jednoho litru a naším cílem je určit jeho rozměry (poloměr a výšku) tak, aby jeho povrch byl minimální? Tebou napsaná otázka totiž moc nedává smysl (povrch lze pouze spočítat, ne jej spočítat tak, aby byl minimální – to zajistí vhodná volba rozměrů).
Pokud ano, tak hledáme minimum pro:
(*) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*va víme, že
(**) 1 = pi*r^2*vr je poloměr a v výška válce.
Vyjádříme si výšku válce v závislosti na poloměru (**):
v = 1/(pi*r^2)a dosadíme do vzroce pro povrch (*)
(***) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*(1/(pi*r^2)) = 2*pi*r^2 + 2/rPovrch S chceme minimalizovat a upravený vzorec pro jeho výpočet (***) je vlastně reálná funkce jedné proměnné (r). Musíme tedy zjistit, kde má minimum. To je místo, kde má nulovou první derivaci a kladnou druhou derivaci.
Takže první derivace
S' = 4*pi*r - 2 / r^2je nulová pro r rovno
4*pi*r - 2/r^2 = 0
4*pi*r^3 = 2
r = odm3(1/(2*pi)) = 1/odm3(2*pi)Druhá derivace je vždy kladná (pro kladný poloměr), a tak ji nemusíme vlatně ani konkrétně hledat.
Z () dopočítáme i výšku **v
v = 1/(pi*r^2) = odm3(2*pi)^2 * / pi = odm3(4) / odm3(pi) = odm3(4/pi)
A pro kontrolu spočítáme objem s našimi hodnotami:V = pi*r^2*v = pi*odm3(4/pi) / odm3(2*pi)^2 = pi*odm3(4/(4*pi^3)) = pi / pi = 1Kontrola vyšla, takže můžeme vyhlásit výsledky:
r = odm3(1/(2*pi)) dm
v = odm3(4/pi) dmJednotkly jsou decimetry, jelikož jsme v nich vyjadřovali i objem (litr je dm3).
Strašně moc děkuji. Omlouvám se, že jsem to napsala nerozumitelně, nám to takhle zadal učitel. Teď už to chápu, ještě jednou moc díky!
Jenom ještě doplním výpočet druhé derivace, aby vše bylo kompletní:
S'' = (4*pi*r - 2/r^2)' = 4*pi + 4*r / r^4 = 4*pi + 4/r^3první sčítanec je konstanty (kladná) a druhý je pro poloměr větší než nula (válce se záporným poloměrem nás moc nezajímají) je také vždy kladný, takže výsledek musí být kladné číslo. Znamená to, že funkce počítající povrch v závislosti na poloměru je všude konvexní (bude to jakási parabola).
Co se týče výsledků, můžou ti vyjít zdánlivě jinak. Záleží na tom, zda máš ráda odmocniny ze zlomků či odmocniny ve jmenovateli. Pořád se ale jedná o totéž, i když to může vypadat jinak.
Stejný postup by šlo aplikovat i v případě, že objem válce neznáme. Dostali bychom pak informaci, v jakém poměru nastavit jeho poloměr a výšku tak, aby byl jeho povrch (při zachování objemu) co nejmenší. O což se možná snažil učitel, a tak se tam vyskytovala neznámá V navíc.
Zobrazeno 5 zpráv z 5.