Lekce 2 - Pojmy

V minulé lekci, Úvod do fraktálů a chaosu, jsme se uvedli do fraktální geometrie a chaosu. Popsali jsme si historii vzniku nové vědy a nejdůležitější osobnosti, které v ní figurují.

V této lekci si vysvětlíme jednotlivé pojmy ohledně fraktálů a chaosu.

Atraktor

Zjednodušeně se dá říci, že je to konečný stav systému. Například pro reálné kyvadlo platí, že atraktorem je stav, kdy kyvadlo nemá kinetickou energii a potenciální energie je nejmenší, tedy kdy se přestane houpat. Naproti tomu atraktorem pohybu planety (Země) je uzavřená elipsa. Některé systémy mají podivný atraktor, vykazují chaotické chování. Všechny chaotické atraktory jsou fraktály.

Rozeznáváme tedy tři druhy atraktorů:

• Bodové
• Cyklické (kruh, osmička...)
• Podivné (nekonečné)

Bifurkace

Extrémní nestabilita systému, kdy jedna situace má dvě se vzdalující řešení.

Cantrorovo diskontinuum (mračno)

Nejjednodušší IFS fraktál. Konstruuje se na základě přímky. Více v samostatné lekci IFS fraktály.

Dimenze

De facto udává, do kolika na sebe kolmých směrů se můžete v daném prostoru vydat. Rozlišujeme topologickou, fraktální dimenzi.

Eukleidovská geometrie

To, že je to základní geometrie, asi všichni víte. Je definována na nezakřiveném prostoru (D>=0). Popisuje jen tzv. geometricky hladké útvary (bod, přímka, čtverec, krychle, koule...). Je vhodná pro schématické úlohy, není schopna přesně popsat reálný svět.

Fraktál

Matematická definice tohoto pojmu zatím neexistuje. Nejblíže skutečnosti je patrně definice B. Mandelbrota:

Fraktál je takový útvar, jehož Hausdorfova dimenze je větší než dimenze topologická.

To znamená, že fraktál nemá jako krychle 3, či jako přímka 1 rozměr, ale jeho dimenze je neceločíselná. To nemusí platit vždy, např. Hilbertovy či Peanovy křivky vyplňují celou rovinu. Mimo Mandelbrotovy definice existuje i tzv. obecná definice:

Fraktál je takový útvar, při jehož zvětšení dostaneme opět stejný obraz, bez ohledu na měřítko.

Pro doplnění, vlastnost popsaná v této definici se nazývá invariace vůči změně měřítka.

Fraktální dimenze = Hausdorffova dimenze

D_H (Matematická reprezentace) de facto udává "fraktálnost" daného objektu. Spočítá se takto: Délka obvodu fraktálu K=Ne^D, měřítko s=1/N. Jestliže dosadíme za K=1, pak můžeme vyjádřit D_H=log(N)/log­(1/s).

Fraktální geometrie

Geometrie zabývající se nekonečně členitými (přírodními) útvary.

Geometricky hladké útvary

Eukleidovská geometrie popisuje jen geometricky hladké útvary. Jsou to tedy notoricky známá tělesa jako kvádr, koule... Tyto útvary mají několik vlastností (povrch, objem), které jsou deterministicky spočítatelné.

Chaos (determinstický)

Schopnost jednoduchých systémů bez zabudovaných nahodných prvků vykazovat vysoce nepředvídatelné a neuspořádané chování. Nechová se ovšem náhodně. Nemůžeme sice zjistit bez výpočtu stav systému v budoucnosti, ale pro stejné počáteční parametry se systém chová stejně. Ovšem i nepatrná změna parametrů (jiný počet desetinných míst) může ale také nemusí znamenat naprosto odlišné chování. Více v lekci pojednání o chaosu

IFS

Iterační funkční systémy. Jedná se o skupinu fraktálů, či o metodu jejich konstrukce. Na počáteční bod iterativně aplikujeme afinní transformace. Po dostatečném (nekonečném) počtu iterací dostaneme kýžený fraktál. Více v lekci o IFS fraktálech.

Kochova křivka

Jedná se o IFS fraktál. Počáteční bod představuje přímka. Tu rozdělíme na tři části, druhou vyjmeme. Vzniklu mezeru "zastřešíme rovnostranným trojůhelníkem.

L-Systémy

Skupina fraktálů, používaná při výzkumu přírody. Vznikají z počátečního nefraktálního symbolu na základě generátoru. Více v lekci o L-Systémech

Mandelbrotova množina (M-set)

Polynomický fraktál (TEA). Vzniká na základě rovnice z=z²+c, kde z i c jsou komplexní čísla, c je pozice bodu a z je iterovaná proměnná (dá se říci odkládací, temp proměnná). M-set tvoří jakýsi katalog Juliových množin. Její význam je čistě estetický. Více v lekci o Mandelbrotově a Juliově množině.

Nekonečně členité útvary

Pro snazší pochopení vyjděme z problému zkoumání délky ostrova. Ve velkém měřítku se nám jeví jako nějaké menší číslo. Se zvětšujícím se měřítkem (do výpočtu zahrnujeme stále nové a nové detaily) se délka zvětšuje a při dokonalé přesnosti dosáhne nekonečna. Nekonečně členitý útvar tedy zabírá v prostoru (rovině) poněkud více místa než hladké útvary, je "kostrbatý" a nekonečně dlouhý (pro vícerozměrné nekonečně objemný).

Sierpinského trojúhelník

Klasický IFS fraktál. Počáteční bod je trojúhelník a iterativně z jeho středu vyjímáme jeho čtvrtinu. Další možnost konstrukce se nazývá chaotická hra. Více v lekci o IFS fraktálech.

Soběpodobnost

Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopií původního motivu. Vyskytuje se jen u čistě matematických struktur, protože jednak jsme v přírodě omezeni velikostí částic (některé se zdají být nedělitelné) a dále těžko v přírodě vznikne takto dokonalý fraktál.

Soběpříbuznost

Je to určité zobecnění soběpodobnosti. Kterákoliv část fraktálu je velmi podobná, ne však zcela shodná s původním motivem.

TEA

Skupina fraktálů. Ty vznikají na základě jednoho polynomu (rovnice). Jejich význam je především estetický či se dají využít pro zkoumání vlastností té konkrétní rovnice. Pro výzkum reálného světa nemají praktický význam.

Topologická dimenze

De facto udává, kolika dimenzionální je daný útvar. To můžeme zjistit podle počtu souřadnic nutných k přesnému určení bodu, který patří zkoumanému objektu. Pro bod platí, že D=0. Přímku, jakoukoliv křivku (tedy i pro klubko motouzu-křivka ve 3D prostoru) D=1. Čtverec, kruh, libovolné polygony, dokonce i pro kulovou plochu (povrch koule) D=2 atd. Pro hranici M-Set platí, že D=1, jedná se totiž o křivku (nezaměňovat s D_H).

V další lekci, Pojednání o chaosu, si řekneme o chaosu a atraktorech.