Nové výhodné předplatné namísto kreditů je tu! Více informací. Upravili jsme také naše provozní podmínky.
NOVINKA: Staň se datovým analytikem a získej jistotu práce, lepší plat a nové kariérní možnosti. Více informací:
Avatar
Kateřina Břízová
Člen
Avatar
Kateřina Břízová:8.6.2017 14:20

Zdravím, mám vypočítat příklad: je dán válec s V=1l, vypočtěte povrch tak, aby byl minimální. Mám i výpočet učitele(obrázek), kde ale V je taky neznámá a tam nechápu ani úpravu. Vím teoreticky jak na to, ale vůbec mi to nevychází. Všem děkuji za pomoc.

 
Odpovědět
8.6.2017 14:20
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:8.6.2017 18:23

Pokud to chápu správně, máme válec o objemu jednoho litru a naším cílem je určit jeho rozměry (poloměr a výšku) tak, aby jeho povrch byl minimální? Tebou napsaná otázka totiž moc nedává smysl (povrch lze pouze spočítat, ne jej spočítat tak, aby byl minimální – to zajistí vhodná volba rozměrů).

Nahoru Odpovědět
8.6.2017 18:23
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:8.6.2017 19:18

Pokud ano, tak hledáme minimum pro:

(*) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*v

a víme, že

(**) 1 = pi*r^2*v

r je poloměr a v výška válce.

Vyjádříme si výšku válce v závislosti na poloměru (**):

v = 1/(pi*r^2)

a dosadíme do vzroce pro povrch (*)

(***) S = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*(1/(pi*r^2)) = 2*pi*r^2 + 2/r

Povrch S chceme minimalizovat a upravený vzorec pro jeho výpočet (***) je vlastně reálná funkce jedné proměnné (r). Musíme tedy zjistit, kde má minimum. To je místo, kde má nulovou první derivaci a kladnou druhou derivaci.

Takže první derivace

S' = 4*pi*r - 2 / r^2

je nulová pro r rovno

4*pi*r - 2/r^2 = 0
4*pi*r^3 = 2
r = odm3(1/(2*pi)) = 1/odm3(2*pi)

Druhá derivace je vždy kladná (pro kladný poloměr), a tak ji nemusíme vlatně ani konkrétně hledat.

Z () dopočítáme i výšku **v

v = 1/(pi*r^2) = odm3(2*pi)^2 * / pi = odm3(4) / odm3(pi) = odm3(4/pi)

A pro kontrolu spočítáme objem s našimi hodnotami:
V = pi*r^2*v = pi*odm3(4/pi) / odm3(2*pi)^2 = pi*odm3(4/(4*pi^3)) = pi / pi = 1

Kontrola vyšla, takže můžeme vyhlásit výsledky:

r = odm3(1/(2*pi)) dm
v = odm3(4/pi) dm

Jednotkly jsou decimetry, jelikož jsme v nich vyjadřovali i objem (litr je dm3).

Nahoru Odpovědět
8.6.2017 19:18
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Avatar
Kateřina Břízová
Člen
Avatar
Kateřina Břízová:9.6.2017 8:08

Strašně moc děkuji. Omlouvám se, že jsem to napsala nerozumitelně, nám to takhle zadal učitel. Teď už to chápu, ještě jednou moc díky!

 
Nahoru Odpovědět
9.6.2017 8:08
Avatar
Martin Dráb
Tvůrce
Avatar
Odpovídá na Kateřina Břízová
Martin Dráb:9.6.2017 11:19

Jenom ještě doplním výpočet druhé derivace, aby vše bylo kompletní:

S'' = (4*pi*r - 2/r^2)' = 4*pi + 4*r / r^4 = 4*pi + 4/r^3

první sčítanec je konstanty (kladná) a druhý je pro poloměr větší než nula (válce se záporným poloměrem nás moc nezajímají) je také vždy kladný, takže výsledek musí být kladné číslo. Znamená to, že funkce počítající povrch v závislosti na poloměru je všude konvexní (bude to jakási parabola).

Co se týče výsledků, můžou ti vyjít zdánlivě jinak. Záleží na tom, zda máš ráda odmocniny ze zlomků či odmocniny ve jmenovateli. Pořád se ale jedná o totéž, i když to může vypadat jinak.

Stejný postup by šlo aplikovat i v případě, že objem válce neznáme. Dostali bychom pak informaci, v jakém poměru nastavit jeho poloměr a výšku tak, aby byl jeho povrch (při zachování objemu) co nejmenší. O což se možná snažil učitel, a tak se tam vyskytovala neznámá V navíc.

Nahoru Odpovědět
9.6.2017 11:19
2 + 2 = 5 for extremely large values of 2
Děláme co je v našich silách, aby byly zdejší diskuze co nejkvalitnější. Proto do nich také mohou přispívat pouze registrovaní členové. Pro zapojení do diskuze se přihlas. Pokud ještě nemáš účet, zaregistruj se, je to zdarma.

Zobrazeno 5 zpráv z 5.