Lekce 7 - IFS fraktály

V minulé lekci, IFS fraktály, jsme probrali Cantorovo mračno, Sierpinského trojúhelník, Sierpinského kobereček, Kapradí a Kochova vločka.

Euklidovská geometrie rozeznává jen několik základních těles (koule, kvádr, kužel atd.), tudíž je nemožné s její pomocí popsat tak složité útvary, jako hory, stromy, vodní hladinu, mraky a podobně. Tyto objekty lze však poměrně přesně popsat pomocí neuvěřitelně krátkých vzorců s využitím fraktální geometrie.

Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém až do nekonečna. Nekonečno samozřejmě musíme v reálném světě omezit. Například stromy se větví na stále menší a menší větvičky, ale ty úplně nejmenší se už nevětví. Fraktály se obecně dělí na:

• Soběpodobné, se kterými se setkáme jen v matematických konstrukcích a kterýkoli výsek je přesnou kopií původního útvaru.
• Soběpříbuzné (jmenované stromy, mraky atd.), kde libovolný výsek je podobnou kopií původniho útvaru.

IFS

IFS (Interation Function System) je algoritmus, který stále opakuje tzv. afinní transformace, dokud neproběhne zadaný počet iterací (počet, kolikrát se geometrická struktura opakuje v mateřském útvaru). Fraktál je tedy zadaný několika afinními transformacemi s těmito parametry. Např. Sierpinského trojúhelník má 3 afinní transformace, kapradina 4, strom 5 atd. Pokud budou všechny transformace používány pravidelně, vznikne soběpodobný fraktál. Pokud budou používány každá s jinou pravděpodobností (případný parametr p, kterým se zde zabývat nebudu), algoritmus se nazývá hierarchický IFS (HIFS) a vznikne fraktál soběpříbuzný. Afinní transformace s daným objektem provádí následující operace: rotaci, zmenšování a posun. Vlastní popis afinní transformace je dán vztahy:

Vzorec na generování IFS fraktálů

Význam jednotlivých parametrů:

• Úhel fí: Otočení osy x, v jejíž směru je útvar přeškálován parametrem r1
• Úhel éta: Otočení osy y, v jejíž směru je útvar přeškálován parametrem r2
• e: Translace útvaru podle horizontální neotočené osy (horizontální posun celým útvarem)
• f: Translace útvaru podle vertikální neotočené osy (vertikální posun celým útvarem)

Zde jsou parametry (koeficienty) afinních transformací pro několik fraktálních útvarů:

Sierpinského trojúhelník

Vánoční stromeček

Drak

Labyrint

Větev

Sněhová vločka

Kapradina

Strom

Ve vztazích pro afinní transformace se provádí výpočty s maticemi. Konkrétně násobení matice o čtyřech a dvou prvcích a sčítání. Pro to platí následující obecný vzorec:

Zdrojový kód

Tak a to je prozatím vše. Doufám, že se mi alespoň trochu podařilo nastínit, o čem algoritmus IFS je a co že je to vlastně fraktální útvar. Aplikaci si odvodíte ze zdrojového kódu, je součástí programu IFSgen